Avanzado Suma de tres cubos es un cubo perfecto

Alguien conoce el problema de sumar los cubos de tres números enteros y que el resultado sea un cubo perfecto. Busco información al respecto. Cualquier ayuda vendrá bien:

$A^3+B^3+C^3=D^3$

Salu2, Jabato.

[Alriga]

Re: Suma de tres cubos es un cubo perfecto

Se que Ramanujan encontró infinitas soluciones de la forma:

$(3x^2+5xy-5y^2)^3+(4x^2-4xy+6y^2)^3+(5x^2-5xy-3y^2)^3 = (6x^2-4xy+4y^2)^3$

Saludos.

[carroza]

Re: Suma de tres cubos es un cubo perfecto

Qué crack el Ramanujan.

Un caso particular de la ecuacion anterior es $3^3+4^3+5^3 = 6^3$, lo cual es una extensión curiosa del triángulo egipcio,
de lados 3, 4 y 5, que es rectángulo y cumple
$3^2 + 4^2= 5^2$

Saludos

[Alriga]

Re: Suma de tres cubos es un cubo perfecto

Qué crack el Ramanujan.
Un caso particular de la ecuacion anterior es
$3^3+4^3+5^3 = 6^3$

Sí un autentico monstruo Ramanujan, lástima que muriese tan joven, solo 33 años.
La única otra solución con todos los números de solo una cifra diferente de la que tú señalas es $1^3+ 6^3+ 8^3 =9^3$

Un problema "relacionado" con éste es el que se conoce como Problema de Waring, ¿todo número entero puede representarse como la suma de como máximo n potencias k-ésimas?
La respuesta es sí, (lo demostró Hilbert), pero el número de sumandos necesarios aumenta rápidamente.
Para potencias de 2 el número máximo necesario de sumandos es 4, por ejemplo:

$348=2^2+ 2^2+ 4^2+ 18^2$

Para potencias de 3 el número máximo necesario de sumandos es 9, por ejemplo:

$23=1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+2^3+2^3$

En general:

k=2 n=4
k=3 n=9
k=4 n=19
k=5 n=37
k=6 n=73
k=7 n=143
..............

$n=2^k +Parte Entera[(3/2)^k]-2$

Leído aquí: El problema de Waring

Saludos.

[rarar]

Re: Suma de tres cubos es un cubo perfecto

Hola.

Perdonad la tardanza en responder, pero es que hace mucho tiempo que no accedo a este foro (problemas informáticos).

En su día, realicé unos "pequeños" estudios sobre el "tema" y encontré varias sucesiones de "cuaternas" cúbicas.

Los expongo, por si a alguien le interesa:

Sean:

$\forall{p} \in{\mathbb{N}}$

$n$, es el número de orden de la sucesión.

$a^3=b^3+c^3+d^3$. (Igualdad nº 1).


Familia 1ª)

$a=3n^3+3pn^2+2p^2n+p^3$

$b=3n^3+3pn^2+2p^2n$

$c=3pn^2+2p^2n+p^3$

$d=p^2n$


Familia 2ª)

$a=9n^4$

$b=9n^4-3p^3n$

$c=9pn^3-p^4$

$d=p^4$


Familia 3ª)

$a=9n^3-6pn^2+3p^2n$

$b=9n^3-6pn^2+3p^2n-p^3$

$c=6pn^2-3p^2n+p^3$

$d=3pn^2$


Familia 4ª)

$a=9n^3+6pn^2+3p^2n+p^3$

$b=9n^3+6pn^2+3p^2n$

$c=6pn^2+3p^2n+p^3$

$d=3pn^2$


Se demuestra, simplemente, desarrollando "la igualdad nº 1".

También, tengo desarrolladas, algunas sucesiones para cinco elementos. Si interesan, las expondré.

Un cordial saludo.