1r ciclo Una duda sobre coordenadas polares

[Ananda]

Buenos días foro. En la asignatura de mecánica hemos empezado el tema de las fuerzas centrales. Debido a que expresar este tipo de fuerzas en coordenadas polares es muchas veces más sencillo que hacerlo en cartesianas, hemos tenido que repasar este tema. Aunque ya estudié y aprobé este tema en cálculo, lo hice sin aprender lo que realmente son estas coordenadas, y ahora me surge una duda respecto a su naturaleza. Me explico:

He leído que: $\frac{d\hat{r}}{d\theta} = \hat{\theta}$ y que $\frac{d\hat{\theta}}{d\theta} = -\hat{r}$.
No entiendo de donde sale esto. Sé que la derivada es el ritmo de crecimiento de una variable respecto a la otra, pero no sé que significa el crecimiento de $\hat{r}$, pues es una dirección y ha de ser constante.

Ojalá podáis sacarme de esta confusión, muchas gracias por leerme y gastar vuestro tiempo en mi pregunta. Un saludo.

[Mossy]

Re: Una duda sobre coordenadas polares

Hola,

Esto sale de los vectores de posición en coordenadas polares. Ya sabrás que en cartesianas el vector de posición es $\vec{r} = x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$, pero en polares es $\vec{r}= \rho \hat{\rho}$, donde $\rho$ es el radio y el vector unitario $\hat{\rho}$ depende del ángulo $\theta$. Puedes leer más aquí y aquí. En coordenadas polares los versores no son constantes, ni tampoco en esféricas. Piensa que las direcciones a las que apuntan estos versores van cambiando.
Saludos,

[IsaacDL]

Re: Una duda sobre coordenadas polares

Ananda, supongo que te refieres a las relaciones entre los unitarios en coordenadas polares, las que se utilizan para sacar las componentes radial y transversal de la velocidad y la aceleración?:

$\dst\frac{\mathrm{d\vec{u}} }{\mathrm{dt} }=\dst\dot{\theta}\vec{n}$
y
$\dst\frac{\mathrm{d\vec{n}} }{\mathrm{dt} }=\dst-\dot{\theta}\vec{u}$

siendo $\dst\vec{u}$ el unitario en la dirección de $\vec{r}$ y $\vec{n}$ el perpendicular a este.

Sabiendo que $\dst\vec{u}= cos \theta \hat{\imath}+sen \theta \hat{\jmath}$ y $\dst\vec{n}= -cos \theta \hat{\imath}+sen \theta \hat{\jmath}$ y aplicando la regla de la cadena:

$\dst\frac{\mathrm{d\vec{u}} }{\mathrm{dt}}=(-cos \theta \hat{\imath}+sen \theta \hat{\jmath}) \frac{\mathrm{d\theta} }{\mathrm{dt} }=\vec{n}\dot{\theta}$

y:

$\dst\frac{\mathrm{d\vec{n}} }{\mathrm{dt}}=(-cos \theta \hat{\imath}-sen \theta \hat{\jmath}) \frac{\mathrm{d\theta} }{\mathrm{dt} }=-\vec{u}\dot{\theta}$

[Ananda]

Re: Una duda sobre coordenadas polares

Buenos días. ¡Muchas gracias por contestar! Aunque entiendo la respuesta analítica, no termino de ver la interpretación geométrica. Quizás no la tiene y es únicamente tiene sentido en el cálculo. ¡Gracias de nuevo!

[IsaacDL]

Re: Una duda sobre coordenadas polares

Buenas Ananda, te adjunto un pequeño dibujo :



Simplemente ocurre,que al derivar y debido a sus componentes, la variación de un unitario con el tiempo depende únicamente de su ángulo y del unitario normal a este, y viceversa.Esta relación se usa para sacar las componentes radial y trasversal de $\vec{v}$ y $\vec{a}$,la cual puede llegar a simplificar enormemente un problema.

[Mossy]

Re: Una duda sobre coordenadas polares

Igual Ananda se refiere a la interpretación geométrica de la derivada en este caso. Más que crecimiento, la derivada mide el cambio de una magnitud cuando nos movemos en la otra. El vector unitario radial es un vector de módulo unidad que se mueve igual que se mueve el radio (gira, como si fuera una manecilla de un reloj). El vector unitario del ángulo es un vector de módulo unidad perpendicular al unitario radial y que se mueve en el sentido de crecimiento del ángulo. Aquí puedes ver un esquema.

Dicho esto y echándole un poco de imaginación, $\displaystyle \frac{d\hat{r}}{d\theta}=\hat{\theta}$ podrías verlo como que el versor radial al moverse en la dirección de $\theta$ describe el versor $\hat{\theta}$ en cada ángulo (puedes tratar de dibujar los dos versores para un radio fijo y distintos ángulos para hacerte una idea). El otro es un poco más complejo, pero si le echas imaginación y tratas de dibujarlo conseguirás verlo.

Esto sería más o menos la interpretación geométrica, pero salir sale de donde te dijimos Isaac y yo.

[arivasm]

Re: Una duda sobre coordenadas polares

El otro es un poco más complejo, pero si le echas imaginación y tratas de dibujarlo conseguirás verlo.

El dibujo de IsaacDL lo permite ver claramente, y simplemente se deduce de la perpendicularidad, constante, entre ambos versores. Usaré los símbolos del dibujo de IsaacDL y los habituales para señalarlo.

Recordemos que nuestro amigo Ananda se refería a las derivadas de esos vectores unitarios respecto del ángulo. Una variación infinitesimal $\dd\theta$ del mismo equivale a rotar la figura completa en dicha cantidad. No es complicado ver que la variación causada en $\hat{r}=\vec u$ (es decir, el resultado de restar al $\hat r$ final el $\hat r$ inicial) tiene la dirección de $\hat{\theta}=\vec n$ Pero igualmente es sencillo ver que la variación que ese giro $\dd\theta$ causa en $\hat\theta=\vec n$ tiene la dirección de $-\hat r=-\vec u$.

Aprovecho para comentar que en dibujo hay un error: las componentes de $\vec n$ no son las escritas, sino $(-\sin\theta,\cos\theta)$

[IsaacDL]

Re: Una duda sobre coordenadas polares

Aprovecho para comentar que en dibujo hay un error: las componentes de $\vec n$ no son las escritas, sino $(-\sin\theta,\cos\theta)$

Esas componentes serían si consideramos el ángulo formado con el eje vertical, en el dibujo utilizo el ángulo con el eje horizontal.
Un saludo

[Mossy]

Re: Una duda sobre coordenadas polares

El dibujo de IsaacDL lo permite ver claramente, y simplemente se deduce de la perpendicularidad, constante, entre ambos versores. Usaré los símbolos del dibujo de IsaacDL y los habituales para señalarlo.

Ah sí sí, lo estaba viendo yo de otra forma y por eso me costaba.

[arivasm]

Re: Una duda sobre coordenadas polares

Esas componentes serían si consideramos el ángulo formado con el eje vertical, en el dibujo utilizo el ángulo con el eje horizontal.
Un saludo

Si llamas $\theta$ al ángulo que forma $\vec r$ con el eje X el que forma el $\vec n$ con el eje -X no puede ser $\theta$, pues ambos ángulos sumados junto con los 90º que forman $\vec r$ y $\vec n$ deben totalizar 180º. El ángulo que forma el $\vec n$ con el eje -X es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[IsaacDL]

Re: Una duda sobre coordenadas polares

Si llamas $\theta$ al ángulo que forma $\vec r$ con el eje X el que forma el $\vec n$ con el eje -X no puede ser $\theta$, pues ambos ángulos sumados junto con los 90º que forman $\vec r$ y $\vec n$ deben totalizar 180º. El ángulo que forma el $\vec n$ con el eje -X es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Perdona Antonio, tienes razón, mi error fue considerar en el dibujo angulos de 45º.
Un saludo

[carmelo]

Re: Una duda sobre coordenadas polares

La expresión del vector posición en coordenadas cartesianas es la siguiente:

$\vec{r}=r\cos \theta\hat{x} + r\sin \theta \hat{y}$

Derivando respecto de $\theta$ se tiene:

$\dst\frac{\dd \vec{r}}{\dd \theta}=-r\sin \theta\hat{x} + r\cos \theta \hat{y}=r\left ( -\sin \theta\hat{x} + \cos \theta \hat{y}\right)$ (1)


Realizando el producto escalar:

$\dst\frac{\dd \vec{r}}{\dd \theta}\cdot \vec{r} = -r^2\cos \theta \sin \theta + r^2\cos \theta \sin \theta =0$

Por lo tanto $\dst\frac{\dd \vec{r}}{\dd \theta}$ es perpendicular a $\vec{r}$ y de módulo $r$


Saludos
Carmelo

por lo tanto podemos escribir

$\dst\frac{\dd \vec{r}}{\dd \theta}=r \hat{\theta}$

o

$\dst\frac{\dd \vec{r}}{ r \dd \theta}= \dst\frac{\dd \hat{r}}{ \dd \theta}= \hat{\theta}$

Donde comparando con (1) se llega a que:

$\hat{\theta}= -\sin \theta\hat{x} + \cos \theta \hat{y}$

Esto es en el caso particular de que el radio no varíe respecto a $\theta$

[arivasm]

Re: Una duda sobre coordenadas polares

Esto es en el caso particular de que el radio no varíe respecto a $\theta$

No. Todo el tratamiento que haces se refiere a que exista $r(\theta)$ y cumpla las condiciones de derivabilidad, pues lo que evalúas es $\dd\vec r/\dd \theta$. Quizá te esté confundiendo con la derivada temporal, en cuyo caso hay que añadir los términos correspondientes a la variación de $r$.

[carmelo]

Re: Una duda sobre coordenadas polares

Hola Arivasm.

Tenes razón en que la igualdad es válida en cualquier circunstancia, ya que se trata de versores.

Mi error proviene del siguiente razonamiento.

$\dst\frac{\dd \vec{r}}{\dd \theta}= \left(r\cos \theta +\sin \theta\dst\frac{\dd r}{\dd \theta}\right)\hat{x} +\left(- r\sin \theta + \cos\theta\dst\frac{\dd r}{\dd \theta}\right)\hat{y}$

$\dst\frac{\dd \vec{r}}{\dd \theta}=r(\cos\theta \hat{x}-\sin\theta\hat{y} ) +\dst\frac{\dd r}{\dd \theta} ( \sin\theta \hat{x}+\cos\theta\hat{y} )=r \hat{\theta}+\dst\frac{\dd r}{\dd \theta}\hat{r}$

Si el r es constante el segundo termino vale cero y se puede pasar r dividiendo e introducirlo en el diferencial para obtener el versor r.

Cuando lo mas sencillo sería hacer:
$\dst\frac{\dd \hat{r}}{\dd \theta}=\cos\theta\hat{x}-\sin\theta\hat{y}=\hat{\theta}$


Saludos
Carmelo