1r ciclo Problema matemático

[zhazzu]

Mirando un libro de la biblioteca hace unos dias, encontré un problema al cual aun sigo dandole vueltas. Alguien sabria como resolverlo ?

Fijarse en que 1/2=0.5, 1/4=0.25, 1/5=0.2 tienen expresiones decimales finitas (el periodo es 0), y en cambio 1/3=0.333..., 1/6=0.166... no. Encuentra los numeros naturales ''n'' tal que '' 1/n '' tiene expresion decimal finita y demuestalo. Demuestra también que las soluciones son únicas.

[Alriga]

Re: Problema matemático

Pista: probablemente tenga algo que ver que los dos únicos divisores de la base de numeración, "10", son el 2 y el 5.
Mira a ver si puedes probar que tal vez solo los números de la forma:

$\dfrac{1}{2^n \cdot 5^m}$

Con n y m enteros tienen expresión decimal finita.
Saludos.

[zhazzu]

Re: Problema matemático

Vale, estoy cerca de la expresion a demostrar. El problema es que el exponente de 2 y de 5 me sale el mismo.



* - En la linea 3, me he dejado el 10^k del denominador sin elevar a k.

[Richard R Richard]

Re: Problema matemático

Otra ayuda De tu ultima expresión

$\dfrac{ \notcien{a_1}{n-1}+\notcien{a_2 }{n-1}+ \ldots +a_n}{2^k5^k}=\dfrac1n$

puedes extraer la conclusion que si multiplicas por $\frac 12$ o $\frac 15$ ambos miembros, se sigue cumpliendo la condición de obtener numeros enteros pues $2n$ y $5n$ seran enteros si n es entero, por lo que la expresión que te paso alriga

$\dfrac{1}{2^n \cdot 5^m}$ es valida para tu problema

en el sistema decimal los números enteros en el denominador daran $x$ cifras decimales con $x \neq \infty$ si $R\in \mathbb{Z}$

entonces $R=\dfrac{\notcien{1}{x}}{n}$

Asi R y n tienen cumplir la condicion de descomponerse solo en multiplos de 1, 2 y 5

que es lo mismo a decir que la descomposición en factores primos del valor de n que incluya números primos distintos a 1, 2 y 5 no es parte de la solución.

[zhazzu]

Re: Problema matemático

Ok, he entendido hasta la expresion que me dió alriga. El paso posterior no lo entiendo. Porque r = 1*10^x / n ??

- - - Actualizado - - -

Ok, he entendido hasta la expresion que me dió alriga. El paso posterior no lo entiendo. Porque r = 1*10^x / n ??

[Richard R Richard]

Re: Problema matemático

El tema es que cualquier fracción $\frac 1n$ que tenga la expresion decimal acotada, puede ser multiplicado en el numerador y en el denominador por el mismo numero en este caso$\notcien {1}{x}$ sin alterar el resultado , luego pasando el $\notcien {1}{x}$ del denominador al otro miembro, lo que antes era un numero decimal se convierte en un entero. al que llame R, como R y n son enteros puedo invertirlos sin problema, entonces debo asumir que tanto R como n tiene unicamente como divisores a los numeros Priimos 1 2 y 5 lo compruebas porque $\notcien {1}{x}$ tiene unicamente a esos divisores.

$r=\dfrac 1n =\dfrac {1\cdot \notcien {1}{x}}{n\cdot \notcien {1}{x}}$

ten en cuenta que $r \neq R$

$R= r\cdot \notcien {1}{x}=\dfrac {1\cdot \notcien {1}{x}}{n}$

de acuerdo a esto

$n=\dfrac {1\cdot \notcien {1}{x}}{R}$

y como

$n\cdot R=\notcien {1}{x}$ y como $\notcien {1}{x}= 2^x \cdot 5^x$

ni R ni n pueden tener otro numero primo como divisor que no sea 1, 2 y 5

[zhazzu]

Re: Problema matemático

Ok, entiendo la explicacion ahora. Lo que no entiendo es porque decidiste hacer todo esto ? Es decir, empezar a involucar R y de más.

Toda esta segunda parte no la podemos obviar ? Es decir, si ya hemos demostrado antes que para que r = 1/n con n natural se cumpla se necesita que n sea de la forma 2^a * 5^b, entonces ya está, no ?

La respuesta al problema seria: Los únicos numeros naturales n tales que 1/n tiene expresion decimal finita son aquellos de la forma 2^a * 5^b ,'a' y 'b' variando en los naturales. (la unicidad no sé si ya queda demostrada o hay que demostrarla. He supuesto que ya queda demostrada en el momento que hemos encontrado que los unicos n que cumple la condicion son los de la forma 2^a * 5^b )

[Richard R Richard]

Re: Problema matemático

Vale, estoy cerca de la expresion a demostrar. El problema es que el exponente de 2 y de 5 me sale el mismo.

Lo puedes obviar lo que intentaba expresar es que no necesariamente los exponentes de 2 y 5 deben ser iguales, que hay enteros que no los tienen y son solución igualmente, queria fundamentar la forma matemática que tienen dichos enteros. Es decir si existe n entero hay otro numero R que multiplicado por n dan por resultado una potencia de la base numérica, por ello no pueden tener otros divisores que no esten entre los divisores de la base numérica.

osea los $n=2^k5^j$ con $k\geqslant 0$ y$j \geqslant 0$

Saludos

[Everett IV]

Re: Problema matemático

Es mucho menos elegante y mucho más largo, pero se convierte prácticamente en un problema de bachillerato. Haz la tabla de dividir de todos los números de una cifra. Con el 1, 2,5 ,8 las divisiones dan expresiones no periódicas. Esta claro que si ahora en los divisores o en los dividendos añades 0´s a la derecha las expresiones siguen siendo no periódicas. Por el teorema fundamental de la numeración, todo dividendo lo vas a poder poner como suma de expresiones de los tipos mencionados, y al sumar expresiones no periódicas divididas por los números mencionados, te van a salir expresiones no periódicas. Si los números a dividir son el 3, el 6 y el 9 (que lo puedes simplificar al caso dividir por 3*2 o por 3*3), y el 7 por el criterio de divisibilidad, quedan expresiones periódicas. Las de los multiplos de 3 no te las vas a poder cargar, y juntándolo con las de 7 tampoco. Luego los únicos divisores por 2. Las sumas periódicas que salen no son eliminables al combinarlas con los no periódicos que salen de dividir con 2 y con 5 , luego ya tienes resuelto el problema. El desarrollo de esto es infernal, pero el nivel de matemáticas requerido es mínimo, aunque no apostaría por usar esta solución en un examen con tiempo limitado xDD