Olimpiada Cilindro rematado en dos semicircunferencias

[Visitante]

Hola,
Tengo un problema con este problema

Un depósito cerrado tiene la forma de un cilindro "tumbado" acabado en dos semiesferas por sus lados. Graduar una varilla para medir verticalmente el volumen de liquido contenido en el depósito en función del la altura marcada en la varilla.Un depósito cerrado tiene la forma de un cilindro "tumbado" acabado en dos semiesferas por sus lados. Graduar una varilla para medir verticalmente el volumen de liquido contenido en el depósito en función del la altura marcada en la varilla.

La cosa es que no sé cómo atacarlo, no se me ocurre cómo poner el volumen en función de la altura vertical (¿Por qué se complican tanto la vida y no cogen la horizontal?) y simplemente os quería pedir pistas para poder resolverlo, no quiero que me digan la solución.

[Alriga]

Re: Cilindro rematado en dos semicircunferencias. Volumen de un cilindro con dos semiesferas

El volumen de la parte cilíndrica, en función de la altura del líquido parece fácil. Hay que calcular el área del segmento circular y multiplicarla por la longitud del cilindro.

$V_{cil}=A_{seg-cir} \cdot L_{cil}$

El área es la parte pintada en verde aquí: https://es.wikipedia.org/wiki/Segmento_circular

$A_{seg-cir}=\dfrac{R^2 \cdot \theta}{2}=\dfrac{R^2}{2} \cdot 2 \ \arccos{\dfrac{d}{R}}=R^2 \cdot \arccos{\dfrac{R-h}{R}}$

$V_{cil}=R^2 \cdot L_{cil} \cdot \arccos{\dfrac{R-h}{R}}$

Ya tienes el volumen de la parte cilíndrica en función del radio del cilindro, de la longitud del cilindro y de la altura h del líquido.
Ahora miraré a ver si me sale la parte esférica.
Saludos.

[Al2000]

Re: Cilindro rematado en dos semicircunferencias

Y el volumen del líquido en las dos semiesferas es el de un casquete esférico, que no es difícil de calcular, girando el área verde alrededor del radio o calculándola como una serie de discos apilados.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Re: Cilindro rematado en dos semicircunferencias. Volumen de un cilindro con dos semiesferas

Para el segmento esférico se puede usar la fórmula del volumen del sólido de revolución, (que tambien se llama método de discos apilados como dice Al200, aunque yo no sabía que también se llamaba así)
https://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B...evoluci%C3%B3n

En la Wikipedia el giro lo hace respecto del eje X y da la fórmula:

$\dst V=\pi\int_a^b y^2(x) \ dx$

Como en nuestro caso el círculo gira en torno al eje Y, la adapto

$\dst V=\pi \int_c^d x^2(y) \ dy$

Con $x^2(y)=R^2-y^2$ ecuación de una circunferencia

$\dst V_e=\pi \int_{-(R-h)}^{-R}x^2(y) \ dy=\pi \int_{-(R-h)}^{-R} (R^2-y^2) \ dy=\pi \left [ R^2 y - \dfrac{y^3}{3} \right ]_{-(R-h)}^{-R}$

$V_e=\dfrac{\pi}{3} \ (3 R - h) \ h^2$ Este volumen habrá que dividirlo por 2 para tener el volumen de cada una de las semiesferas a cada lado del cilindro y después multiplicarlo por 2 porque hay 2 semiesferas.

Por lo tanto, el volumen del cilindro horizontal con dos semiesferas en los extremos en función de la altura del líquido queda, ( $0 \leq h \leq 2 R$ ):

$V=R^2 \cdot L_{cil} \cdot \arccos{\dfrac{R-h}{R}} + \dfrac{\pi}{3} \ (3 R - h) \ h^2$

Saludos.

[Visitante]

Re: Cilindro rematado en dos semicircunferencias

¿De dónde sale la expresión que nos da la longitud de la cuerda en la wikipedia? y ¿Para las semicircunferencias no hay otra manera de deducir la fórmula sin recurrir a las integrales?

[Alriga]

Re: Cilindro rematado en dos semicircunferencias. Volumen de un cilindro con dos semiesferas

Para las semicircunferencias no hay otra manera de deducir la fórmula sin recurrir a las integrales?

No se me ocurre otra manera, (vamos creo que no)
De todas maneras es una integral definida que tiene primitiva y conduce a una fórmula cerrada:

$V=\dfrac{\pi}{3} \ (3 R - h) \ h^2$ No veo problema.

Piensa que la expresión del volumen de una esfera, $V=\dfrac 4 3 \pi R^3$, también hay que hacer una integral para demostrarla.

- - - Actualizado - - -

¿De dónde sale la expresión que nos da la longitud de la cuerda en la wikipedia?

https://es.wikipedia.org/wiki/Segmento_circular

-La longitud de la cuerda:

$\dfrac c 2=R \cdot \sin \dfrac{\theta}{2}$

-Y también, como por definición el ángulo es el arco dividido por el radio, la longitud del arco $s=R \cdot \theta$

Saludos