1r ciclo Th. Fundamental del Cálculo

[The Higgs Particle]

Me piden calcular la derivada de $G(x) = \int^{x^2}_0 (sin (t^2)) \cdot log(1+t^2) dt$

He intentado ser lo más rigurosa posible, a ver si me ha salido bien:


Sea $F(x) = \int^{b(x)}_{a(x)} f(t) \cdot dt = \int^{b(x)}_c - \int^{a(x)}_c = F(b(x)) - F(a(x))$

Por ello:

$\frac{d(F(x))}{dx } = \frac{d}{dx } \int^{b(x)}_{a(x)} f(t) \cdot dt = \frac{d}{dx} (F(b(x)) - F(a(x)))$

Aplicando la regla de la cadena:

$\frac{dF(x)}{dx}= F'(b(x)) \cdot b'(x) - F'(a(x)) \cdot a'(x)$

Por el Th. Fundamental del cálculo, que indica que, siendo $H(x) = \int^x_0 f(t) \cdot dt \to H'(x) = f(x)$, tenemos que:

$\frac{d(F(x))}{dx} = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$


Por lo tanto:

$\boxed{\frac{d G(x)}{dx} = 2x \cdot sin(x^4) \cdot log(1+x^4)}$

[arivasm]

Re: Th. Fundamental del Cálculo

Yo lo encuentro correcto