1r ciclo Curvas de Nivel

[The Higgs Particle]

No sé muy bien dónde colocar este hilo, así que lo dejo por aquí suelto.


Me piden dibujar las curvas de nivel de la función $f(x,y) = -x^2 + y^2 -4y + 4$, con $C= -4, -2, 0, 2, 4$

Pongo el ejemplo de cómo he calculado la de $C=4$, para ver si es que lo estoy haciendo mal:

$-x^2 + y^2 -4y + 4 = -4 \to x^2 - (y-2)^2 = 12 \to \frac{x^2}{ (\sqrt{12})^2} - \frac{(y-2)^2}{(\sqrt{12})^2 } = 1$

Es decir, me sale una hipérbola con centro en $(0, 2)$ y que, además, está tumbada sobre el eje OX (algo así). Para los demás valores de $C$ me salen similares pero con un denominador diferente ($\sqrt{10}, \sqrt{8}, \sqrt{6}, 2$, respectivamente. Así, las gráficas están cada vez más cerca del origen).


Sin embargo, en Wolfram Alpha me sale que las curvas de nivel se asientan sobre el eje OY, como si fueran del tipo $- \frac{(x - \alpha)^2}{a^2} + \frac{(y- \beta)^2}{a^2} = 1$


¿Dónde estoy fallando?

[Alriga]

Re: Curvas de Nivel

En mi opinión lo estás haciendo bien

$z=-x^2+(y-2)^2$ es un paraboloide hiperbólico, (silla de montar)

Las curvas de nivel z=C

$-\dfrac{x^2}{C}+\dfrac{(y-2)^2}{C}=1$ son Hipérbolas

Y esas hipérbolas tienen el eje, o bien paralelo al eje Y cuando las C son positivas o bien paralelo al eje X cuando las C son negativas. (Que equivale a estar por encima o por debajo del "punto plano" de la silla de montar)

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Curvas de Nivel

Las curvas de nivel surgen de hacer $z=f(x,y)=C$

Pongo el ejemplo de cómo he calculado la de $C=4$, para ver si es que lo estoy haciendo mal:

$-x^2 + y^2 -4y + 4 = -4$

sera la de $C=-4$ entonces


$-x^2 + y^2 -4y + 4 =-x^2 + (y-2)^2=-4$

$\dfrac{-x^2}{-4} + \dfrac{(y-2)^2}{-4}=1$

$\left (\dfrac{x}{2}\right )^2 -\left ( \dfrac{(y-2)}{2}\right )^2=1$


y para el caso $C=4$


$-x^2 + y^2 -4y + 4 =-x^2 + (y-2)^2=4$

$\dfrac{-x^2}{4} + \dfrac{(y-2)^2}{4}=1$

$-\left (\dfrac{x}{2}\right )^2 +\left ( \dfrac{(y-2)}{2}\right )^2=1$

Sin embargo, en Wolfram Alpha me sale que las curvas de nivel se asientan sobre el eje OY, como si fueran del tipo $- \frac{(x - \alpha)^2}{a^2} + \frac{(y- \beta)^2}{a^2} = 1$

no siempre el denominador será $a$ en ambos sumandos

$- \dfrac{(x - \alpha)^2}{a^2} + \dfrac{(y- \beta)^2}{b^2} = 1$

$\alpha=0$

$\beta=2$

$a=2$

y en este caso si se da que $b=a=2$



para la funcion $- \dfrac{(x - \alpha)^2}{a^2} + \dfrac{(y- \beta)^2}{b^2} = 1$

una curva de nivel -1 sera

$- \dfrac{(x - \alpha)^2}{a^2} + \dfrac{(y- \beta)^2}{b^2} = -1$

que es lo mimo que
$+ \dfrac{(x - \alpha)^2}{a^2} - \dfrac{(y- \beta)^2}{b^2} = 1$

es la famosa silla de montar el eje de la hiperbola cambia en este caso en$z=0$

donde

$$|\dfrac x2|=|\dfrac{y-2}2|$$

PD- puede tocarte un problema con el cambio a cualquier z con una función del tipo mas general

$z=+ \dfrac{(x - \alpha)^2}{a^2} - \dfrac{(y- \beta)^2}{b^2} +z_o$

donde la inversión se dará al nivel $z=z_o$ o $z-z_o=0=+ \dfrac{(x - \alpha)^2}{a^2} - \dfrac{(y- \beta)^2}{b^2}<br />$

En ellos lo primero que haces es hallar el centro , ajustando los cuadrados tanto en $x$ como en $y$ , lo que no dependa ni de $x$ ni de $y$ sera parte de $z_o$ luego dividiendo por el valor del nivel $C$, llegas a obtener los valores de $\alpha$, $\beta$, $a$ , $b$ y $z_o$

Saludos $\mathbb R^3$