Secundaria Problema de números complejos

[Niaar]

Tengo un problemilla con un problema (en teoria senzillo) de números complejos. El enunciado dice: Calcula k para que el número complejo que obtengamos al dividir $\frac{2+i}{k+i}$ esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

Mi procedimiento: el número dice estar situado a 45 grados del ejer real (bisectriz del primer cuadrante), por lo que la parte real será igual a la imaginaria. RE=IM

Hago la división $\frac{2+i}{k+i}=$$\frac{(2+i)(k-i)}{(k+i)(k-i)}=\frac{2k+1}{{k}^{2}+1}+\frac{ki-2i}{{k}^{2}+1}$
Entonces:

$\frac{2k+1}{{k}^{2}+1} = \frac{ki-2i}{{k}^{2}+1}; 2k+1=k-2$ Po lo que $k=-3$

El problema es que si sustituyo k=-3 en el enunciado me sale el número complejo $-0.5-0.5i$, el cual está situado en el tercer cuadrante, a 180 grados de dónde me piden.

¿Alguien ve el error? Muchas gracias

[Alriga]

Re: Problema de números complejos

Si k es real lo has hecho correctamente y la solución que has encontrado es única. Se le suele llamar en sentido amplio bisectriz del primer cuadrante a toda la recta en la que y=x
Por lo tanto incluye soluciones en las cuales los dos números son iguales negativos, como en tu caso.
Mira por ejemplo la definición aquí: http://www.alcaste.com/departamentos...ica/teoria.pdf
donde explica que que hay 2 rectas bisectrices de cuadrantes y no 4.
Saludos.

[Al2000]

Re: Problema de números complejos

...
El problema es que si sustituyo k=-3 en el enunciado me sale el número complejo $-0.5-0.5i$, el cual está situado en el tercer cuadrante, a 180 grados de dónde me piden.

¿Alguien ve el error? Muchas gracias

Como te dijo Alriga, bajo la suposición de que $k$ es un número real has resuelto correctamente el problema, aunque el resultado esté en el tercer cuadrante. Otra forma de abordar el problema sería imponer que $\dst \frac {2 + i}{k + i} = a + a i$ y por supuesto decir que $a$ es un número real. La solución es $\dst k = \frac 3 {2 a} - \left(a + \frac 1 2\right) i$. Nota que para que $k$ sea real, entonces $a = - 1/2$, mientras que en el primer cuadrante caerán todos los $k$ que obtienes haciendo $a>0$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: Problema de números complejos

Calcula k para que el número complejo que obtengamos al dividir $\frac{2+i}{k+i}$ esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

Lo que planteaste no tiene error matematico sino que no calculaste lo que te pide el enunciado.

Si k es real lo has hecho correctamente .

Como te dijo Alriga, bajo la suposición de que $k$ es un número real has resuelto correctamente el problema, aunque el resultado esté en el tercer cuadrante. Otra forma de abordar el problema sería imponer que $\dst \frac {2 + i}{k + i} = a + a i$ y por supuesto decir que $a$ es un número real. [/TEX].

Pero en ningun lado dice que k tiene que ser real y aclara que resultado debe estar en el primer cuadrante.


yo lo plantearia de la siguiente manera

$k=a+bi$ con $a,b \in \mathbb R$

entonces

$\dfrac{2+i}{a+bi+i}=\dfrac{(2+i)(a-i(b+1))}{(a+i(b+1))(a-i(b+1))}=\dfrac{2a+b+1+(a-2(b+1))i}{a^2+(b+1)^{2}}$

luego $2a+b+1=a-2(b+1)$

$a=-3-3b$ y tenemos parametrizado el numero complejo $k=-3-3b+bi$

para tener como resultado al origen [0,0i] se deduce $b=-1$

entonces $k=-3-3b+bi \:\: \forall b\in\mathbb R \subset[-\infty,-1]$ es tu respuesta

Saludos $\mathbb R^3$

[Alriga]

Re: Problema de números complejos

... Pero en ningun lado dice que k tiene que ser real y aclara que resultado debe estar en el primer cuadrante...

No Richard, lee bien, no dice para nada que el resultado tiene que estar en el primer cuadrante:

Calcula k para que el número complejo que obtengamos al dividir $\frac{2+i}{k+i}$ esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

-La definición que a mí me dieron de bisectriz: "recta que divide un ángulo en dos partes iguales"
-Y una de las propiedades de una recta según cualquier definición que yo haya leído, (desde Euclides), es que "Una recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos"

Creo que los dos puntos anteriores no son opinables, puesto que son definiciones. Además, (pero esto sí que ya es mi opinión), creo que la intención del que plantea el ejercicio es resolverlo para k real, y yo sólo hice esa precisión por ser purista,...
Saludos.

- - - Actualizado - - -

La solución es
$\dst k = \frac 3 {2 a} - \left(a + \frac 1 2\right) i$

Al, has debido cometer algún error al operar, pues tu expresión para k no es correcta, la correcta es:

$\dst k = \frac 3 {2 a} - \left(1 + \frac{1}{2a}\right) i$

Si se admite que k pueda ser complejo, esta solución da todos los posibles valores de la expresión del enunciado situados en la bisectriz del primer cuadrante, variando $-\infty < a < +\infty$ con $a \neq 0$
Si se quisiesen sólo los valores del primer cuadrante, (cosa que no dice el enunciado), éstos se obtienen para $a>0$

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Problema de números complejos

Hola alriga, Entiendo lo que planteas y no es que lo haya obviado o no lo sepa, en el planteo solo la segunda definición es inopinable, y por ello Niaar se preocupa pues el resultado no cae en la semirrecta del primer cuadrante.

Al respecto no se si wikipedia sera lo correcto para dar definición, de la bisecctriz, pues si miras da casi la misma definición que tu he citaste, pero, luego da una definicion de longitud de la bisectriz de un triangulo, para lo cual deberia tratarse de un segmento.

Toda la vida para mi la bisectriz dividió un angulo al medio, es decir bisectriz de $\alpha$ no debería ser la misma que la de $\alpha$ mas 180 sino que ambas formariían una recta, es decir al menos la bisectriz es una semirrecta.

La ecuación que obtienes matemáticamente es la de una recta ,pero también la usara la semirrecta y el segmento, en lo que no estamos de acuerdo es en la definición del intervalo del dominio.


He buscado y muchos dan la definición como "La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo"

y también adolecen de lo mismo , el ángulo no se da entre dos rectas sino entre dos semirrectas, pues sino no tendrías manera de elegir cual es el angulo o su conjugado,

en la diapositiva 6 de 8, también aqui , no he buscado demasiado, la definen como semirrecta.

En definitiva miremos cual es el objetivo de problema, trabajar con números complejos o reales. si fuera k un real llegas a un solo numero, aun solo punto, si k es complejo entonces puede definir todos los puntos de la bisectriz, sea una recta o una semirrecta.

Saludos $\mathbb R^3$

[Alriga]

Re: Problema de números complejos

$k=-3-3b+bi$

Richard, tu solución coincide con la

$\dst k = \frac 3 {2 a} - \left(1 + \frac{1}{2a}\right) i$ que ha dado Al (corregida del gazapo) haciendo $b=-\left (1+\dfrac{1}{2a}\right )$

En realidad hay infinitas expresiones para "k" complejo en función de otro parámetro que cumplen el enunciado, por eso creo que la intención de quien ideó el ejercicio es que "k" fuese un real. Por ejemplo esta otra expresión es bien bonita:

$\dst k=3 x e^{-x} - (1+x e^{-x}) i$

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Al respecto no se si wikipedia sera lo correcto para dar definición, de la bisecctriz, pues si miras da casi la misma definición que tu he citaste,

No tengo ninguna intención de polemizar, solo puntualizaré que.
-La definición de bisectriz como nombre, (no como adjetivo), la he tomado del Diccionario de la Real Academia Española: "Recta que divide un ángulo en dos partes iguales" http://dle.rae.es/?id=5bftRVt

-Y que tú afirmación

... no calculaste lo que te pide el enunciado ...

me parece radical en exceso.

Saludos Richard.

[Niaar]

Re: Problema de números complejos

Muchas gracias Algira, $\mathcal A \ell$ y $\mathbb R^3$,

Ciertamente mi error fue pensar que el resultado debía estar en el primer cuadrante cuando no lo especifica. Después, yo también di por hecho que $k<br /> <br />$ era un numero real, porque si no fuese así, creo que habría infinitas soluciones en función de $a$.

Además hoy he encontrado el problema aquí http://www.vitutor.com/di/c/c_e.html (es el número 1) y da como solución válida y única $k=-3$.

[Richard R Richard]

Re: Problema de números complejos

por eso creo que la intención de quien ideó el ejercicio es que "k" fuese un real. ....

mi punto de vista es que no es la intención sino la trampa. Pensar solo en números reales cuando estas trabajando con complejos te lleva a una solución que no se ajustara al enunciado.

No tengo ninguna intención de polemizar,....

yo tampoco ,

Y que tú afirmación me parece radical en exceso.

Me disculpo si mi critica ha sido en exceso, para mi el resultado no se ajusta a lo que se espera, y vista la solución de Vitutor, sigo con mi lucha contra los molinos de viento por ser terco como una mula.

Me ha quedado picando el tema de la definición de la bisectriz, yo a la RAE no le discuto,....en gramatica y ortografia pero... como he dicho buscando en wikipedia lo visto definido parecido, no quise decir que lo hayas tomado de alli.

El diccionario del traductor de google dice "[FONT=arial]Semirrecta que parte del vértice de un ángulo y lo divide en dos partes iguales."

por otro lado encuentro esta definicion que cito en la parte que tenemos dicenso [/FONT]

[FONT=Tahoma]Mientras tanto, el punto de la bisectriz resultará equidistante a las dos rectas del ángulo. Como consecuencia de la reciprocidad, cuando dos rectas se cruzan determinarán cuatro ángulos y cada uno de ellos definirá una bisectriz.[/FONT]

[FONT=Tahoma]... via Definicion ABC http://www.definicionabc.com/general/bisectriz.php[/FONT]

Lo mismo dice esta definición de la que tambien cito una parte

El punto de la bisectriz es equidistante a los dos lados del ángulo. Recíprocamente, dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y cada uno de ellos define una bisectriz

Creo que los que escribieron no tenian necesidad de decir que cada angulo define una bisectriz, si habria dos solamente.... y ya son 5 los links que he pasado, que definen con lo que llamamos semirrecta no recta.

Entonces insisto en compartir mi idea de que la bisectriz es una semirrecta, que el problema no tiene solución en los números reales, y si se podrían definir infinitos k complejos con propiedades especificas de construccion como las que hemos hallado, que darian un resultado a la división cuya representación grafica haria caer a a cada punto sobre la semirrecta que divide en dos el primer cuadrante.

Edito para agregar que la bisectriz de un segmento recto si es una única recta, y que sobre los lados de una figura geometrica, la bisectiz es un segmento o en el de los arcos y de los angulos una semirrecta

Saludos $\mathbb R^3<br />$