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Si disponemos un conjunto numerable de sucesiones matemáticas de términos positivos, , definimos para el conjunto numerable que forman sus términos n-simos el valor de su supremo, , podemos establecer como condición principal la siguiente:
Al cumplirse dicha condición puede demostrase fácilmente que todas las sucesiones son convergentes y su límite es precisamente , ya que sus términos a partir de un cierto n son todos positivos y tan pequeños como queramos:
Dicho conjunto de sucesiones presenta una curiosa propiedad, tratemos de calcular el siguiente límite:
expresión en la que el exponente representa un número real arbitrario mayor o igual que . Fácilmente se ve que si dicho límite se hace infinito ya que todos los sumandos se hacen iguales a , pero que también debería existir un suficientemente grande a partir del cual el límite se hace finito, y podemos preguntarnos entonces lo siguiente ¿existe dicho valor? y ¿cual es?
Antes de continuar con el desarrollo teórico intentaré mostrar algunos ejemplos para ver que efectivamente todo lo dicho responde a una realidad matemática. Consideraré en primer lugar un ejemplo partiendo de una familia de sucesiones de la forma:
que efectivamente satisface la condición pedida:
y que garantiza la convergencia a de todas las sucesiones . En este caso la suma que debemos realizar es la siguiente:
En este caso se ve claramente que si la suma diverge cuando , pero si la suma converge a porque el sumatorio es un valor finito. Debe haber por lo tanto un valor de comprendido en el intervalo (0,1] que sea frontera entre los valores de que hacen que sea finito o infinito. El problema se plantea cuando se desea averiguar dicho valor pero es claro que debe existir. Para valores de pertenecientes a dicho intervalo el límite se obtiene como producto de dos factores, uno que tiende a y otro que tiende a , es por lo tanto una indeterminación. No resulta fácil discriminar entonces cual será su valor, es decir:
Veamos algún ejemplo más. Supongamos un arco de una curva suave acotado y elijamos arbitrariamente un conjunto n-1 de puntos pertenecientes a él y regularmente distribuidos, además de sus extremos y analicemos la poligonal que tiene como vértices la sucesión de dichos puntos partiendo de un extremo de la curva hasta llegar al extremo opuesto. Midamos su longitud como suma de las longitudes de cada uno de los segmentos que la forman, . Sabemos por cálculo integral que el límite cuando debe coincidir con la longitud de la curva, pero si modificamos dicha suma elevando cada sumando a un exponente arbitrario obtendremos una suma de la forma:
Se observa que para la suma anterior debe ser divergente ya que todos los sumandos son iguales a 1, y que para dicha suma debe coincidir con la longitud del arco que es finita, por lo tanto debe existir en el intervalo un valor frontera del parámetro que separe los valores para los que la suma es divergente o convergente.
Otro ejemplo significativo son las series matemáticas de términos positivos, . En este caso se puede plantear que la serie asociada a la sucesión es la suma de sus infinitos términos, aunque podemos analizar que es lo que ocurre si afectamos a cada uno de los sumandos de la serie de un exponente arbitrario , con lo que obtendríamos una suma como la siguiente:
Otra vez vuelve a reproducirse el caso en que cuando es nulo la suma anterior es divergente por estar formada por infinitos sumandos iguales a . Ahora bien si hacemos crecer llegará un momento a partir del cual la suma se hará finita para todos los valores de mayores que uno dado, valor que dependerá en general de la rapidez con la que tiende a el término general de la sucesión.
Pueden citarse otros muchos ejemplos de estos fenómenos, como por ejemplo las integrales múltiples que tienen un desarrollo similar al de las integrales curvilíneas, otro ejemplo más que significativo es la medida Hausdorff basada en los recubrimientos de un conjunto acotado, etc.
Básicamente son dos los tipos de sumas las que satisfacen la propiedad más interesante de las descritas aquí. Me refiero a la existencia de un valor del exponente que sirve de frontera entre los valores que hacen que la suma diverja o converja, pudiendo ocurrir que la suma justo cuando alcanza ese valor sea finita o infinita aunque ese caso puntual lo dejaremos para un análisis posterior. Los dos tipos de sumas que adoptan esa propiedad son:
1.- Sumas con un número creciente de términos positivos que varían como infinitésimos. En lo sucesivo lo llamaré suma infinita.
2.- Sumas con un número creciente de términos positivos que forman una sucesión infinitesimal. En lo sucesivo lo llamaré serie.
Los dos casos pueden resumirse de una forma sencilla si nos damos cuenta de que el valor medio del término general tiende a :
de forma que podemos resumir el problema tratando de determinar el valor de:
La resolución general de este problema, bastante complejo sin duda, nos permitiría realizar de una forma sencilla tanto la suma de una serie, una integral o la determinación de la dimensión y la medida de conjuntos en , hecho que engarza además de una forma simple con la geometría fractal. Resulta evidente que todo el proceso se ha basado en el cálculo infinitesimal, disciplina que por desgracia ha desaparecido de las aulas por razón que desconozco. Pero aún hay más propiedades curiosas que trataré de desbrozar en lo que sigue.
Por ejemplo, en las sumas del tipo (1), en las que todos los sumandos son infinitésimales, se puede substituir uno cualquiera de ellos por un infinitésimo equivalente sin que la suma total varíe, y si se puede substituir uno cualquiera de ellos entonces resulta que se pueden substituir todos ellos. Esto, que a primera vista puede parecer una propiedad insignificante, resulta ser una propiedad que nos suministra una herramienta de primer orden que nos permite resolver las integrales definidas, las curvilíneas, las dobles y triples y en general cualquier integral múltiple de una forma muy sencilla. Primero demostraré la propiedad y luego pondré algunos ejemplos de cálculo para ilustrar la potencia que presenta dicha herramienta. La demostración es muy sencilla, consideremos dos sumas en las que se ha substituido en una de ellas uno de los sumandos por otro equivalente. Al hacer la resta de ambas sumas se observa que dicha resta es nula:
Se observa que bastaría que ambos términos fueran infinitesimales, incluso para un número finito de términos, aunque si el número de términos a substituir es no finito que es la opción más útil entonces no se puede garantizar la igualdad de ambas sumas solo con esa condición, es necesario además que los infinitésimos sean equivalentes. Esto es lo que nos permite, a la hora de rectificar una curva, dividir la curva en n arcos elementales, considerar que la longitud total de la curva es igual a la suma de las longitudes de cada uno de los arcos elementales, substituir entonces cada uno de dichos arcos por su cuerda al ser infinitésimos equivalentes, y calcular la longitud de la poligonal formada por todas las cuerdas, porque al llevar el proceso al límite la longitud de dicha poligonal debe coincidir con la longitud de la curva. Algo parecido ocurre cuando se calculan superficies y volúmenes, veamos, consideremos el caso de una superficie que tiene definida una parametrización. Un elemento de superficie estará definido por dos arcos de curva paramétrica y su superficie será un infinitésimo equivalente a la del triángulo definido por las dos cuerdas correspondientes a dichos arcos, lo que nos permite realizar la substitución del área de un elemento de superficie por la correspondiente del triángulo equivalente. Análogamente se realiza el proceso para volúmenes ya que un elemento de volumen será un infinitésimo equivalente al paralelepípedo definido por las cuerdas de los arcos que lo delimitan y en general el proceso es válido para integrales de cualquier orden, basta con realizar la parametrización de la variedad, definir el elemento delimitado por dichas curvas y realizar la aproximación correspondiente. Análogamente se puede realizar con los elementos tangentes a la variedad o también con cualquier otro infinitésimo equivalente al elemento de la variedad de que se trate. No doy más detalles de como hacerlo porque supongo más que conocidos estos métodos.
[FONT=times new roman]
Aproximaciones infinitesimales por cuerdas[/FONT]
En la figura superior se muestan algunos casos interesantes, la primera muestra la forma general en que se utiliza esta técnica para rectificar curvas, la segunda muestra el caso clásico de calcular la longitud de la circunferencia o el área del círculo como valores límite de los de un polígono regular de radio fijo y número de lados creciente, y en el tercer caso se muestra la paradoja de Schwartz del cilindro, caso que analizaré en detalle porque es interesante y viene al caso por lo que veremos más adelante. En este último caso se pretende calcular el área lateral del cilindro aproximándola mediante una serie de triángulos dispuestos en la forma que muestra la figura de forma que la base circular del cilindro contiene un polígono regular de lados y la altura total del cilindro se encuentra dividida en tramos. De acuerdo a esto se puede calcular la superficie lateral de cilindro multiplicando el área de cada triángulo por el número total de triángulos y haciendo que el número de triángulos tienda a infinito, pero veremos que no siempre ocurre eso, motivo de la famosa paradoja. El número total de triángulos y su área valen respectivamente:
y en consecuencia el área del poliedro inscrito será:
La cuestión estriba en que cabe la posibilidad de que dicha área no tienda al valor esperado (área lateral del cilindro) si crece mucho más rapidamente que , lo que fué causa de la paradoja citada. La solución pasa por el hecho de que el elemento y el triángulo deberían ser infinitésimos equivalentes, cosa que no ocurre cuando crece mucho más rápido que . Veamos que pasa si imponemos la condición de equivalencia:
Aproximaciones infinitesimales por tangentes
Como ejemplo calcularé ahora el área lateral de un cono recto de altura y radio de la base , siendo la longituda de su generatriz . La parametrización estará determinada por sus generatrices y circunferencias paralelas a la base, de forma que cada elemento de superficie del cono estará delimitado por un par de generatrices y otro par de circunferencias:
Como elemento diferencial equivalente podemos tomar, debido a la ortogonalidad de las curvas paramétricas, el producto de las longitudes de sus arcos, es decir:
Posteriormente, debido a mis lecturas de geometría fractal, conocí otra forma de medir conjuntos de , la medida de Hausdorff, que es otra forma distinta de realizar las mediciones, basada también en sumas de infinitos infinitésimos, pero mucho más potente como ahora explicaré. El método consiste en recubrir el conjunto que se quiere medir, , con una colección de N conjuntos de diámetro dado, , (los conjuntos del recubrimiento pueden ser de cualquier tipo aunque conviene que sean todos iguales para simplificar los cálculos, por ejemplo segmentos, arcos, cuadrados, rectángulos, círculos, triángulos, cubos, paralelepipedos, esferas, etc.) y entonces hacer que el diámetro de las piezas del recubrimiento vaya disminuyendo, lo que obligará a que el número de piezas del recubrimiento aumente y a continuación realizar la siguiente suma:
Admitiendo que todas las piezas del recubrimiento son iguales entonces la expresión anterior se convierte en:
y será solo necesario establecer la relación entre el número de piezas y su diámetro , para tener resuelto el problema, aunque en muchos casos establecer dicha relación puede ser un problema bastante complicado. El valor de frontera entre los valores que hacen que la suma converja o diverja es precisamente la dimensión del conjunto medido y la suma obtenida para ese valor es precisamente la medida del conjunto. El método es desde luego mucho más potente que el anterior, el método de los infinitésimos equivalentes, porque permite medir desde conjuntos discretos formados por un número finito de puntos hasta conjuntos de dimensión fraccionaria como los fractales, cosas que no pueden hacerse con el método anterior, ocurriendo además que el método es igualmente válido para medir otros conjuntos más convencionales tales como las figuras geométricas clásicas de cualquier dimensión entera. Este método tiene además la ventaja de que sirve para calcular la dimensión de un conjunto cualquiera.
Veamos a continuación un par de ejemplos de este último método para tener una muestra de como se aplica.
Consideremos en primer lugar un conjunto discreto formado por 3 puntos. En este caso utilizaremos para el recubrimiento esferas de diámetro . La sumatoria sería en este caso:
y en este caso se observa que la dimensión es 0 y la medida es 3 que coincide con el cardinal del conjunto.
Para el caso de un fractal consideraremos uno sencillo como por ejemplo el triángulo de Sierpinski y lo recubriremos con triángulos equiláteros cuyo lado sea una fracción 2^n del lado del triángulo, . En este caso la suma a considerar es la siguiente:
[FONT=times new roman]Recubrimientos sucesivos del triángulo de Sierpinski[/FONT]
El número de piezas necesario, , para recubrir el fractal completo, de diámetro , y el diámetro de cada pieza en el recubrimiento n-simo vienen dados por las expresiones:
con lo que tendremos al final:
y nuestro problema consiste ahora en determinar el valor frontera de entre los valores que hacen que dicho límite sea finito o infinito, hecho que se cumple precisamente cuando se cumple:
que es precisamente la dimensión de este fractal. Su medida, para esta dimensión, es:
Puede deducirse con facilidad que para valores menores de la medida se hace infinita y para valores mayores la medida se anula.
Así pues existen básicamente tres técnicas distintas para medir subconjuntos de , la primera es aproximando la medida de cada elemento diferencial de una variedad mediante las cuerdas de los arcos que lo delimitan, la segunda es aproximando la medida de cada elemento diferencial de una variedad mediante sus tangentes y la tercera mediante el recuento de las piezas de un recubrimiento. Métodos que denominaré de cuerdas, de tangentes y del recubrimiento respectivamente.
Continuará, Jabato.
Al cumplirse dicha condición puede demostrase fácilmente que todas las sucesiones son convergentes y su límite es precisamente , ya que sus términos a partir de un cierto n son todos positivos y tan pequeños como queramos:
Dicho conjunto de sucesiones presenta una curiosa propiedad, tratemos de calcular el siguiente límite:
expresión en la que el exponente representa un número real arbitrario mayor o igual que . Fácilmente se ve que si dicho límite se hace infinito ya que todos los sumandos se hacen iguales a , pero que también debería existir un suficientemente grande a partir del cual el límite se hace finito, y podemos preguntarnos entonces lo siguiente ¿existe dicho valor? y ¿cual es?
Antes de continuar con el desarrollo teórico intentaré mostrar algunos ejemplos para ver que efectivamente todo lo dicho responde a una realidad matemática. Consideraré en primer lugar un ejemplo partiendo de una familia de sucesiones de la forma:
que efectivamente satisface la condición pedida:
y que garantiza la convergencia a de todas las sucesiones . En este caso la suma que debemos realizar es la siguiente:
En este caso se ve claramente que si la suma diverge cuando , pero si la suma converge a porque el sumatorio es un valor finito. Debe haber por lo tanto un valor de comprendido en el intervalo (0,1] que sea frontera entre los valores de que hacen que sea finito o infinito. El problema se plantea cuando se desea averiguar dicho valor pero es claro que debe existir. Para valores de pertenecientes a dicho intervalo el límite se obtiene como producto de dos factores, uno que tiende a y otro que tiende a , es por lo tanto una indeterminación. No resulta fácil discriminar entonces cual será su valor, es decir:
Veamos algún ejemplo más. Supongamos un arco de una curva suave acotado y elijamos arbitrariamente un conjunto n-1 de puntos pertenecientes a él y regularmente distribuidos, además de sus extremos y analicemos la poligonal que tiene como vértices la sucesión de dichos puntos partiendo de un extremo de la curva hasta llegar al extremo opuesto. Midamos su longitud como suma de las longitudes de cada uno de los segmentos que la forman, . Sabemos por cálculo integral que el límite cuando debe coincidir con la longitud de la curva, pero si modificamos dicha suma elevando cada sumando a un exponente arbitrario obtendremos una suma de la forma:
Se observa que para la suma anterior debe ser divergente ya que todos los sumandos son iguales a 1, y que para dicha suma debe coincidir con la longitud del arco que es finita, por lo tanto debe existir en el intervalo un valor frontera del parámetro que separe los valores para los que la suma es divergente o convergente.
Otro ejemplo significativo son las series matemáticas de términos positivos, . En este caso se puede plantear que la serie asociada a la sucesión es la suma de sus infinitos términos, aunque podemos analizar que es lo que ocurre si afectamos a cada uno de los sumandos de la serie de un exponente arbitrario , con lo que obtendríamos una suma como la siguiente:
Otra vez vuelve a reproducirse el caso en que cuando es nulo la suma anterior es divergente por estar formada por infinitos sumandos iguales a . Ahora bien si hacemos crecer llegará un momento a partir del cual la suma se hará finita para todos los valores de mayores que uno dado, valor que dependerá en general de la rapidez con la que tiende a el término general de la sucesión.
Pueden citarse otros muchos ejemplos de estos fenómenos, como por ejemplo las integrales múltiples que tienen un desarrollo similar al de las integrales curvilíneas, otro ejemplo más que significativo es la medida Hausdorff basada en los recubrimientos de un conjunto acotado, etc.
Básicamente son dos los tipos de sumas las que satisfacen la propiedad más interesante de las descritas aquí. Me refiero a la existencia de un valor del exponente que sirve de frontera entre los valores que hacen que la suma diverja o converja, pudiendo ocurrir que la suma justo cuando alcanza ese valor sea finita o infinita aunque ese caso puntual lo dejaremos para un análisis posterior. Los dos tipos de sumas que adoptan esa propiedad son:
1.- Sumas con un número creciente de términos positivos que varían como infinitésimos. En lo sucesivo lo llamaré suma infinita.
2.- Sumas con un número creciente de términos positivos que forman una sucesión infinitesimal. En lo sucesivo lo llamaré serie.
Los dos casos pueden resumirse de una forma sencilla si nos damos cuenta de que el valor medio del término general tiende a :
de forma que podemos resumir el problema tratando de determinar el valor de:
La resolución general de este problema, bastante complejo sin duda, nos permitiría realizar de una forma sencilla tanto la suma de una serie, una integral o la determinación de la dimensión y la medida de conjuntos en , hecho que engarza además de una forma simple con la geometría fractal. Resulta evidente que todo el proceso se ha basado en el cálculo infinitesimal, disciplina que por desgracia ha desaparecido de las aulas por razón que desconozco. Pero aún hay más propiedades curiosas que trataré de desbrozar en lo que sigue.
Por ejemplo, en las sumas del tipo (1), en las que todos los sumandos son infinitésimales, se puede substituir uno cualquiera de ellos por un infinitésimo equivalente sin que la suma total varíe, y si se puede substituir uno cualquiera de ellos entonces resulta que se pueden substituir todos ellos. Esto, que a primera vista puede parecer una propiedad insignificante, resulta ser una propiedad que nos suministra una herramienta de primer orden que nos permite resolver las integrales definidas, las curvilíneas, las dobles y triples y en general cualquier integral múltiple de una forma muy sencilla. Primero demostraré la propiedad y luego pondré algunos ejemplos de cálculo para ilustrar la potencia que presenta dicha herramienta. La demostración es muy sencilla, consideremos dos sumas en las que se ha substituido en una de ellas uno de los sumandos por otro equivalente. Al hacer la resta de ambas sumas se observa que dicha resta es nula:
Se observa que bastaría que ambos términos fueran infinitesimales, incluso para un número finito de términos, aunque si el número de términos a substituir es no finito que es la opción más útil entonces no se puede garantizar la igualdad de ambas sumas solo con esa condición, es necesario además que los infinitésimos sean equivalentes. Esto es lo que nos permite, a la hora de rectificar una curva, dividir la curva en n arcos elementales, considerar que la longitud total de la curva es igual a la suma de las longitudes de cada uno de los arcos elementales, substituir entonces cada uno de dichos arcos por su cuerda al ser infinitésimos equivalentes, y calcular la longitud de la poligonal formada por todas las cuerdas, porque al llevar el proceso al límite la longitud de dicha poligonal debe coincidir con la longitud de la curva. Algo parecido ocurre cuando se calculan superficies y volúmenes, veamos, consideremos el caso de una superficie que tiene definida una parametrización. Un elemento de superficie estará definido por dos arcos de curva paramétrica y su superficie será un infinitésimo equivalente a la del triángulo definido por las dos cuerdas correspondientes a dichos arcos, lo que nos permite realizar la substitución del área de un elemento de superficie por la correspondiente del triángulo equivalente. Análogamente se realiza el proceso para volúmenes ya que un elemento de volumen será un infinitésimo equivalente al paralelepípedo definido por las cuerdas de los arcos que lo delimitan y en general el proceso es válido para integrales de cualquier orden, basta con realizar la parametrización de la variedad, definir el elemento delimitado por dichas curvas y realizar la aproximación correspondiente. Análogamente se puede realizar con los elementos tangentes a la variedad o también con cualquier otro infinitésimo equivalente al elemento de la variedad de que se trate. No doy más detalles de como hacerlo porque supongo más que conocidos estos métodos.
[FONT=times new roman]
Aproximaciones infinitesimales por cuerdas[/FONT]
En la figura superior se muestan algunos casos interesantes, la primera muestra la forma general en que se utiliza esta técnica para rectificar curvas, la segunda muestra el caso clásico de calcular la longitud de la circunferencia o el área del círculo como valores límite de los de un polígono regular de radio fijo y número de lados creciente, y en el tercer caso se muestra la paradoja de Schwartz del cilindro, caso que analizaré en detalle porque es interesante y viene al caso por lo que veremos más adelante. En este último caso se pretende calcular el área lateral del cilindro aproximándola mediante una serie de triángulos dispuestos en la forma que muestra la figura de forma que la base circular del cilindro contiene un polígono regular de lados y la altura total del cilindro se encuentra dividida en tramos. De acuerdo a esto se puede calcular la superficie lateral de cilindro multiplicando el área de cada triángulo por el número total de triángulos y haciendo que el número de triángulos tienda a infinito, pero veremos que no siempre ocurre eso, motivo de la famosa paradoja. El número total de triángulos y su área valen respectivamente:
y en consecuencia el área del poliedro inscrito será:
La cuestión estriba en que cabe la posibilidad de que dicha área no tienda al valor esperado (área lateral del cilindro) si crece mucho más rapidamente que , lo que fué causa de la paradoja citada. La solución pasa por el hecho de que el elemento y el triángulo deberían ser infinitésimos equivalentes, cosa que no ocurre cuando crece mucho más rápido que . Veamos que pasa si imponemos la condición de equivalencia:
Éste es el primer procedimiento que yo aprendí para calcular la medida de los conjuntos de , básicamente curvas y superficies planas, incluso las integrales de Riemann y Lebesgue se resuelven también por este procedimiento, aunque nadie me lo explicó desde este punto de vista, que en mi opinión sería el más correcto ya que apunta directamente a los fundamentos del cálculo infinitesimal.
El siguiente método para medir conjuntos pasa por el uso de parametrizaciones. En este caso se toman los elementos infinitesimales tangentes a las curvas paramétricas de la variedad e iguales en magnitud a sus arcos o cuerdas respectivas. Es una variante del método anterior. Creo que no es necesario dar demasiados detalles salvo indicar que también se corresponden con sumas infinitas.
El siguiente método para medir conjuntos pasa por el uso de parametrizaciones. En este caso se toman los elementos infinitesimales tangentes a las curvas paramétricas de la variedad e iguales en magnitud a sus arcos o cuerdas respectivas. Es una variante del método anterior. Creo que no es necesario dar demasiados detalles salvo indicar que también se corresponden con sumas infinitas.
Aproximaciones infinitesimales por tangentes
Como ejemplo calcularé ahora el área lateral de un cono recto de altura y radio de la base , siendo la longituda de su generatriz . La parametrización estará determinada por sus generatrices y circunferencias paralelas a la base, de forma que cada elemento de superficie del cono estará delimitado por un par de generatrices y otro par de circunferencias:
Como elemento diferencial equivalente podemos tomar, debido a la ortogonalidad de las curvas paramétricas, el producto de las longitudes de sus arcos, es decir:
Posteriormente, debido a mis lecturas de geometría fractal, conocí otra forma de medir conjuntos de , la medida de Hausdorff, que es otra forma distinta de realizar las mediciones, basada también en sumas de infinitos infinitésimos, pero mucho más potente como ahora explicaré. El método consiste en recubrir el conjunto que se quiere medir, , con una colección de N conjuntos de diámetro dado, , (los conjuntos del recubrimiento pueden ser de cualquier tipo aunque conviene que sean todos iguales para simplificar los cálculos, por ejemplo segmentos, arcos, cuadrados, rectángulos, círculos, triángulos, cubos, paralelepipedos, esferas, etc.) y entonces hacer que el diámetro de las piezas del recubrimiento vaya disminuyendo, lo que obligará a que el número de piezas del recubrimiento aumente y a continuación realizar la siguiente suma:
Admitiendo que todas las piezas del recubrimiento son iguales entonces la expresión anterior se convierte en:
y será solo necesario establecer la relación entre el número de piezas y su diámetro , para tener resuelto el problema, aunque en muchos casos establecer dicha relación puede ser un problema bastante complicado. El valor de frontera entre los valores que hacen que la suma converja o diverja es precisamente la dimensión del conjunto medido y la suma obtenida para ese valor es precisamente la medida del conjunto. El método es desde luego mucho más potente que el anterior, el método de los infinitésimos equivalentes, porque permite medir desde conjuntos discretos formados por un número finito de puntos hasta conjuntos de dimensión fraccionaria como los fractales, cosas que no pueden hacerse con el método anterior, ocurriendo además que el método es igualmente válido para medir otros conjuntos más convencionales tales como las figuras geométricas clásicas de cualquier dimensión entera. Este método tiene además la ventaja de que sirve para calcular la dimensión de un conjunto cualquiera.
Veamos a continuación un par de ejemplos de este último método para tener una muestra de como se aplica.
Consideremos en primer lugar un conjunto discreto formado por 3 puntos. En este caso utilizaremos para el recubrimiento esferas de diámetro . La sumatoria sería en este caso:
y en este caso se observa que la dimensión es 0 y la medida es 3 que coincide con el cardinal del conjunto.
Para el caso de un fractal consideraremos uno sencillo como por ejemplo el triángulo de Sierpinski y lo recubriremos con triángulos equiláteros cuyo lado sea una fracción 2^n del lado del triángulo, . En este caso la suma a considerar es la siguiente:
[FONT=times new roman]Recubrimientos sucesivos del triángulo de Sierpinski[/FONT]
El número de piezas necesario, , para recubrir el fractal completo, de diámetro , y el diámetro de cada pieza en el recubrimiento n-simo vienen dados por las expresiones:
con lo que tendremos al final:
y nuestro problema consiste ahora en determinar el valor frontera de entre los valores que hacen que dicho límite sea finito o infinito, hecho que se cumple precisamente cuando se cumple:
que es precisamente la dimensión de este fractal. Su medida, para esta dimensión, es:
Puede deducirse con facilidad que para valores menores de la medida se hace infinita y para valores mayores la medida se anula.
Así pues existen básicamente tres técnicas distintas para medir subconjuntos de , la primera es aproximando la medida de cada elemento diferencial de una variedad mediante las cuerdas de los arcos que lo delimitan, la segunda es aproximando la medida de cada elemento diferencial de una variedad mediante sus tangentes y la tercera mediante el recuento de las piezas de un recubrimiento. Métodos que denominaré de cuerdas, de tangentes y del recubrimiento respectivamente.
Continuará, Jabato.
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