1r ciclo Problemas de combinatorio

[zhazzu]

El apartado a) ya lo tengo demostrado. El apartado b) no se como meterle mano.


Necesito algo de ayuda. Gracias!

[carmelo]

Re: Problemas de combinatorio

Hola.

Probaste por inducción?

Saludos
Carmelo

[zhazzu]

Re: Problemas de combinatorio

Estoy probando inducción pero no me sale. Se me lia mucho la cosa. No se si soy yo que lo hago mal.

Pero, no puede probarse de otra forma más facil, como por ejemplo usando propiedades de los numeros combinatorios ? Le estoy dando mil vueltas pero no consigo sacar nada claro.

[Richard R Richard]

Re: Problemas de combinatorio

no veo como llegar estas seguro de que la expresión del enunciado es esa? el combinatorio de 0 ? sabemos que el factorial de 0 es 1 la sumatoria empieza con k=1 entonces o con k=0?

no se si haz probado lo siguiente es un planteo incompleto pero quiza te sirve.

si escribes la ecuacion a como

$\left (\begin{aligned}m\\o\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}o\\r\end{aligned} \right)=\left (\begin{aligned}m\\r\end{aligned} \right)\left (\begin{aligned}m-r\\o-r\end{aligned} \right)$

si haces $m-r=s+r \mapsto m=s+2r$
y haces $o-r=n+r \mapsto o=n+2r$

y que $k=\left (\begin{aligned}k\\1\end{aligned} \right)$

entonces

$\left (\begin{aligned}s+2r\\n+2r\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}n+2r\\r\end{aligned} \right)=\left (\begin{aligned}s+2r\\r\end{aligned} \right) \dst{\sum_{k=0}^r \left (\begin{aligned}r\\k\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}s\\k+n\end{aligned} \right) }$

$$\left (\begin{aligned}s+2r\\r\end{aligned} \right) \dst{\sum_{k=0}^r \left (\begin{aligned}r\\k\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}s\\k+n\end{aligned} \right) }=\dst{\sum_{k=0}^r \left (\begin{aligned}s+2r\\r\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}r\\k\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}s\\k+n\end{aligned} \right) }$$

$\dst{\sum_{k=0}^r \left (\begin{aligned}s+2r\\r\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}r\\k\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}s\\k+n\end{aligned} \right) }=\dst{\sum_{k=0}^r \left (\begin{aligned}s+2r\\k\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}s+2r-k\\r-k\end{aligned} \right)\left (\begin{aligned}s\\k+n\end{aligned} \right) }<br />$
falta ver como operar con los combinatorios llegar desde este último término a otro que contenga .

$\dst{\sum_{k=0}^r \left (\begin{aligned}k\\1\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}r\\k\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}s\\k\end{aligned} \right) }$

o que cambio de variable es necesario
a priori los veo parecidos y habra que aplicar algo que ahora mismo no veo

de (1) detecto que si $n=0$ $r=1$ y $s+2r=k$ Y $\left (\begin{aligned}r\\k\end{aligned} \right)$ que sentido tendria....

llego a la expresion pero limita los resultados generales-

por lo que $\left (\begin{aligned}s+2r\\r\end{aligned} \right)=\left (\begin{aligned}k\\1\end{aligned} \right)=k$ pero k varia en el sumatorio, y $\left (\begin{aligned}s+2r\\r\end{aligned} \right)$ tiene un valor unico lo cual limita nuevamente a $r=0$....




Saludos $\mathbb{R}^3$

[zhazzu]

Re: Problemas de combinatorio

Si, la expresion del enunciado es esa. Yo también he llegado a pensar que no es cierta tras intentar hacer unas comprobaciones en wolfram alpha.
Alguien sugiere alguna otra idea ?

[carmelo]

Re: Problemas de combinatorio

Para la prueba del item b podemos ver lo siguiente:

$\begin{pmatrix} s+r \\ n+r \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}s+r-1 \\n+r-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}s+r-1 \\ n+r\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} s+r-1\\n+r-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}s+r-2 \\n+r-2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}s+r-2 \\n+r-1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} s+r-1\\n+r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}s+r-2 \\n+r-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}s+r-2 \\n+r \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} s+r \\ n+r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s+r-2 \\n+r-2 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}s+r-2 \\n+r-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}s+r-2 \\n+r \end{pmatrix}$

Podemos seguir:

$\begin{pmatrix} s+r \\ n+r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s+r-3 \\n+r-3 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}s+r-3 \\n+r-2 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}s+r-3 \\n+r-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}s+r-3 \\n+r \end{pmatrix}$

y en general:

$\begin{pmatrix} s+r \\ n+r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s+r-k \\n+r-k \end{pmatrix}\begin{pmatrix}k \\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}s+r-k \\n+r-k+1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}k\\1 \end{pmatrix}+. . .$$+\begin{pmatrix}s+r-k \\n+r-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}k \\k-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}s+r-k\\n+r \end{pmatrix}\begin{pmatrix}k \\k \end{pmatrix}$

Para k =r se tiene:
$\begin{pmatrix} s+r \\ n+r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s \\n \end{pmatrix}\begin{pmatrix}r \\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}s \\n+1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}r\\1 \end{pmatrix}+. . .$$+\begin{pmatrix}s\\n+r-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}r \\r-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}s\\n+r \end{pmatrix}\begin{pmatrix}r \\r \end{pmatrix}=\dst\sum_{k=0}^r\begin{pmatrix}r\\k \end{pmatrix}\begin{pmatrix}s \\n+k \end{pmatrix}$

Saludos
Carmelo

[Richard R Richard]

Re: Problemas de combinatorio

la expresion (1)}

$$\dst{\sum_{k=0}^r \left (\begin{aligned}s+2r\\r\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}r\\k\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}s\\k+n\end{aligned} \right) }$$

si k=r

$$\dst{\sum_{k=0}^r \left (\begin{aligned}s+2r\\r\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}r\\k\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}s\\k+n\end{aligned} \right) }=\dst{\sum_{k=0}^r \left (\begin{aligned}s+2r\\r\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}r\\r\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}s\\r+n\end{aligned} \right) }$$

y

$$\dst{\sum_{k=0}^r \left (\begin{aligned}k\\1\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}r\\k\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}s\\k\end{aligned} \right) }=\dst{\sum_{k=0}^r \left (\begin{aligned}r\\1\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}r\\r\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}s\\r\end{aligned} \right) }$$

para que los 2 ultimos termino de 2 y 3 sean iguales evidentemente $n=0$ $r=0$ y $s=0$

$\dst{\sum_{k=0}^r \left (\begin{aligned}s+2r\\r\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}r\\r\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}s\\r+n\end{aligned} \right) }=\dst{\sum_{k=0}^r \left (\begin{aligned}r\\1\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}r\\r\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}s\\r\end{aligned} \right) }$

pero igualmente llegamos a una contradicción ya que

$1=\dst{\sum_{k=0}^r \left (\begin{aligned}k\\1\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}r\\k\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}s\\k\end{aligned} \right) }=\dst{\sum_{k=0}^r \left (\begin{aligned}k\\0\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}r\\k\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}s\\k\end{aligned} \right) }\neq\dst{\sum_{k=0}^r k \left (\begin{aligned}r\\k\end{aligned} \right) \left (\begin{aligned}s\\k\end{aligned} \right) }=0$

pues

$\left (\begin{aligned}k\\k\end{aligned} \right) \neq k$ si $k=0$