1r ciclo Duda en demostracion de una aplicacion

[zhazzu]

Buenas, tengo dudas sobre si he hecho bien este ejercicio. Os pongo lo que he pensado. No se si los mis razonamientos son correctos o hay algo que falla.

* Sean$f: A \mapsto B$ y $g:B \mapsto C$ dos aplicaciones. Para cada una de las siguientes afirmaciones, decir si es siempre verdadera o no, y justificarlo (demostracion o contraejemplo)

a) Si $g o f$ es inyectiva, entonces $g$ es inyectiva.

Mi solucion es:

g o f es inyectiva significa que
- A elementos diferentes del conjunto $A$ le corresponden elementos diferentes del conjunto $C$
- Cada elemento $c \in C$ tiene como maximo una antiimagen en $A$
- En el conjunto A no pueden haber 2 o mas elementos con la misma imagen.
Luego, $g o f$ puede reescribirse como $g(f(a))$, con $a \in A$.

Ahora, recordemos que el anunciado nos dice que para todo $a \in A$ existe un y solo un $c \in C$ tal que $g o f(a)=c$.
Sabiendo que $g o f(a)=c$ es lo mismo que decir $g(f(a))=c$, entonces la expresion anterior la podemos reescribir como:
'' Para todo $a \in A$ existe un y solo un $c\in C$ tal que$g(b)=c$'' ,$b\in B$

Como vemos no hay ninguna restriccion sobre $b\in B$ ya que se puede dar que a 2 o mas elementos de $B$ le correspondan un mismo $c \in C$. No se dice lo contrario ni hay ninguna restriccion al respecto. Luego, esto implicaria que $g$ no es inyectiva. El enunciado es falso.

[angel relativamente]

Re: Duda en demostracion de una aplicacion

La condición de inyectividad no es equivalente a lo que dices de "para todo $a\in A$ existe un y solo un $c\in C$ tal que $g(f(a))=c$". Eso es lo que debe cumplir, en general, una función. La condición para que $g\cdot f$ sea inyectiva sería que para todo $c\in C$ existe un único $a\in A$ de forma que $g(f(a))=c$. La reescritura parece sutil pero la diferencia es abismal. Yo diría que sí es cierto el enunciado, a ojo se puede ver de la siguiente manera. Sean $a,b \in A$. Si la composición es inyectiva, entonces $g(f(a))=g(f(b)) \; \Rightarrow \; a=b$. Pero $a=b$ implica que $f(a)=f(b)$, por lo que de la implicación $g(f(a))=g(f(b)) \; \Rightarrow \; f(a)=f(b)$ se deduce que $g$ es inyectiva.
Saludos,

[zhazzu]

Re: Duda en demostracion de una aplicacion

mmm.. es 100% seguro que es verdadera ? Creo recordar que el profesor me dijo antes de navidad que la expresion era falsa y que lo demostrase. Estaba equivocado mi profesor ?

[angel relativamente]

Re: Duda en demostracion de una aplicacion

mmm.. es 100% seguro que es verdadera ? Creo recordar que el profesor me dijo antes de navidad que la expresion era falsa y que lo demostrase. Estaba equivocado mi profesor ?

No es seguro, lo he pensado rápido y he razonado sin mirarlo mucho porque no tengo tiempo. Intentaré buscar un contraejemplo, de momento os invito a que lo hagáis también y si me he equivocado yo me digáis dónde

- - - Actualizado - - -

Bueno, hay un contraejemplo obvio que hace el enunciado falso y que debí de haber visto antes. Si llamas $f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} \; \; f(x)=\sqrt{x}$, $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \; \; g(x)=x^2$, claramente $f$ es inyectiva, g no lo es y la composición es inyectiva.

[zhazzu]

Re: Duda en demostracion de una aplicacion

No entiendo el contraejemplo. Las aplicaciones que has dado no estan mal definidas ? Es decir, no deberian de ser $f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ y $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ ?

[angel relativamente]

Re: Duda en demostracion de una aplicacion

No entiendo el contraejemplo. Las aplicaciones que has dado no estan mal definidas ? Es decir, no deberian de ser $f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ y $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ ?

Tal como tú las defines son exhaustivas, pero no tienen por qué serlo. Los conjuntos de llegada pueden ser los que tú quieras siempre que contengan $\mathbb{R}^+$. Si quieres otro contraejemplo más bestia, puedes pensar en la aplicación "inyección" entre dos cuerpos. Por ejemplo, si $f$ es la inyección de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$, $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$ tal que $f(q)=q$ (es claramente inyectiva pero no exhaustiva), y $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una aplicación tal que $g(x)=x, \; x\in \mathbb{Q}, \; g(x)=0 \; x\notin \mathbb{Q},$, observa que $g \circ f = f$ por lo que es inyectiva pero $g$ no lo es (el cero tiene infinidad de antiimágenes).
Más allá de los contraejemplos, mi demostración del anterior mensaje falla pues no se deduce en ningún momento $f(a)=f(b)$ de las premisas originales. Lo que sí que tienes es que si $g\circ f$ es inyectiva, entonces $f$ tiene que serlo. En efecto sean $a,b \in A$, si $f(a)=f(b)$ aplico g y tengo que $g(f(a))=g(f(b))$ y como la composición es inyectiva por hipótesis se tiene $a=b$, como queríamos demostrar.
Saludos ,

[HanT]

Re: Duda en demostracion de una aplicacion

Nosotros en clase demostramos que la composición de aplicaciones inyectivas es inyectiva. Lo que no quiere decir que la composición entre una aplicación inyectiva, y otra que no lo es, no pueda ser inyectiva. Es condición suficiente pero no necesaria.

Edit: perdón había leído que se preguntaba por el carácter de la composición de dos aplicaciones inyectivas.