Otras carreras Convergencia de una serie

[propanotriol]

El enunciado es demasiado largo, pero no aporta gran información, es para meter en contexto el ejercicio.

Grosso modo, me pide, encontrar la intensidad $\left\vert{} B^2 \right\vert{}$, si:

$B = A(1-r)\sum_{n=0}^{\infty}r^n e^{in \phi}$

donde $r \in ]0,1[ "y" \phi$ son reales (i es el número imaginario)

Los primeros factores sé que son: $A^2(1-r)^2$; y que debo determinar la convergencia de la serie, y es donde tengo problemas.

Lo que yo hago es determinar la convergencia de la serie y al final, hacer el cuadrado. Pero no veo como tratar con el número imaginario.

Usando la fórmula de Euler no solventa mi problema.

Agradecería toda pista!

¡Muchas gracias y un saludo!

[carmelo]

Re: Convergencia de una serie

Hola:


Estudia la convergencia absoluta de la serie, es decir la convergencia de la serie:

$\dst\sum_{n=0}^{\infty}\left\vert r^n\; e^{in\phi} \right\vert$

Si una serie converge absolutamente, entonces es convergente.

Saludos
Carmelo

[propanotriol]

Re: Convergencia de una serie

Sí, eso lo entiendo y es mi objetivo, pero lo que me "perturba" es el número imaginario, y hacer el límite con él en medio, cambia algo o simplemente lo manipulo como un número "más"

[angel relativamente]

Re: Convergencia de una serie

El módulo de un número complejo es un número real

[propanotriol]

Re: Convergencia de una serie

Hostia, que **** soy, perdonad y gracias! no había caído

[carmelo]

Re: Convergencia de una serie

Hola.

Te ayudo con la suma de la seríe.

Con $z=re^{i\phi}$ y $\left\vert z \right\vert<1$ podemos hacer los siguiente.

$\dst\sum_{n=0}^{\infty}r^ne^{in\phi}=\dst\sum_{n=0}^{\infty}(re^{i\phi})^n=\dst\sum_{n=0}^{\infty}z^n=\dfrac{1}{1-z}=\dfrac{1}{1-re^{i\phi}}=\dfrac{1-r\cos\phi+i \;r\sin \phi}{r^2-2r\cos\phi+1}$

$\left\vert\dst\sum_{n=0}^{\infty}r^ne^{in\phi}\right\vert=\dfrac 1 {\sqrt{r^2-2r\cos\phi+1}}$



Saludos
Carmelo

[propanotriol]

Re: Convergencia de una serie

No entiendo realmente este paso: $\dst\sum_{n=0}^{\infty}z^n=\dfrac{1}{1-z}$

Estamos empezando con las series y puede que esté limitado por mi falta de conocimiento

[carmelo]

Re: Convergencia de una serie

Hola.

Es la suma de una serie geometrica. La cual converge a el valor mencionado si $\vert z \vert < 1$

Saludos
Carmelo

PD:

Puedes verlo del siguiente modo:

$\dst\sum_{n=0}^{\infty}z^n=\dst\lim_{n \to \infty}\dst\sum_{k=0}^{n}z^k =\dst\lim_{n \to \infty} S_n$ con $S_n=\dst\sum_{k=0}^{n}z^k$

Ahora hagámos $z S_n - S_n = z^{n+1} - 1$ con lo que $S_n =\dfrac{z^{n+1}-1}{z-1}$

Ahora tomando el límite cuando $\dst\lim_{n\to\infty} S_n=\dst\lim_{n\to\infty} \dfrac{z^{n+1}-1}{z-1}$

se tiene que:

$\dst\sum_{n=0}^{\infty}z^n=\dfrac 1 {1-z}$ donde $\dst\lim_{n\to\infty}z^{n+1}=0$ si $\vert z\vert<1$

Saludos nuevamente

[propanotriol]

Re: Convergencia de una serie

Muchisimas gracias Carmelo! Me ha sido de gran ayuda!