Ecuación diferencial, Cilindro conductor a potencial debajo del océano.

[Julián]

Hola a todos.

Estoy un poco fuera de práctica, tengo la siguiente ecuación:

$\frac{\partial V}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \phi} \hat{\phi} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{z} = \rho ( \frac{I}{4 \phi {r}^{2}} \hat{r} + \frac{I}{4 \phi {r}^{2}} \hat{\phi}+\frac{I}{4 \phi {r}^{2}} \hat{z})$

Entonces:

$\frac{\partial V}{\partial r} \hat{r} = \rho \frac{I}{4 \phi {r}^{2}} \hat{r}$

$\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \phi} \hat{\phi}= \rho \frac{I}{4 \phi {r}^{2}} \hat{\phi}$

$\frac{\partial V}{\partial z} \hat{z} = \rho \frac{I}{4 \phi {r}^{2}} \hat{z}$

¿Es posible resolver esas ecuaciones por separado? Entiendo que sí.

Además sé que el potencial es V en r=a y el potencial es cero en $r=\infty$.

Se que la corriente es 0 en z mayor igual 0.

[carroza]

Hola. Lo que pones tiene pinta de que tienes un campo vectorial en coordenadas cilíndricas (el lado derecho de tu ecuación inicial), y quieres obtener el potencial V del que deriva, de forma que el campo sea el gradiente del potencial.

La cosa es que no todo campo vectorial puede obtenerse como gradiente de un potencial. La condición para que eso ocurra es que el rotacional del campo sea cero, y creo que eso no se cumple para el campo descrito por el lado derecho de tu ecuación.

Un saludo

[Alriga]

... no todo campo vectorial puede obtenerse como gradiente de un potencial. La condición para que eso ocurra es que el rotacional del campo sea cero, y creo que eso no se cumple para el campo descrito por el lado derecho de tu ecuación ...

Las tres componentes (en cilíndricas) del campo son:

$E_r=E_{\phi}=E_z=\dfrac{\rho I}{4\pi \phi r^2}$

En este caso el rotacional del campo no es nulo seguro. Basta comprobar que al menos una de las 3 componentes del rotacional en coordenadas cilíndricas es no nulo.

$\dst \nabla\times \vec E=\hat{r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial E_{z}}{\partial \phi}-\frac{\partial E_{\phi}}{\partial z}\right)+\hat{\phi}\left(\frac{\partial E_{r}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial r}\right)+\hat{z}\left[\frac{1}{r}\frac{\partial (r E_{\phi})}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial E_{r}}{\partial \phi}\right]$

Compruebo la segunda componente:

$\dst \hat{\phi}\left(\frac{\partial E_{r}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial r}\right)=\hat{\phi}\left( 0+\dfrac{\rho I}{2\pi \phi r^3}\right ) \neq 0$

Por lo tanto, como

$\nabla\times \vec E \neq 0 \Longrightarrow \nexists \ V \text{ tal que } \vec E=\nabla V$

Saludos.

[Julián]

Hola. Gracias por la respuesta.

Entonces, dado un cilindro metálico, a potencial V. ¿Cómo podemos calcular la densidad de corriente saliente del mismo? es decir, la corriente, considerando que el medio en el que está tiene una conductividad mayor a cero en forma homogénea.

[Trisko]

Suponiendo que lo que está a la derecha de tu expresión es el campo vectorial y lo que quieres es obtener la corriente, tendrías que relacionar campo eléctrico y densidad de corriente con la expresión $\vec{J}=\sigma \vec{E}$, con esto integrarías sobre la superficie sobre la cual atraviesa esta densidad de corriente y obtienes la intensidad o corriente eléctrica, teniendo en cuenta siempre que la integral es sobre una superficie cilindrica (lo digo para que tengas en cuenta el jacobiano).