Otras carreras Trensformada de Legendre

[alexpglez]

Hola, no entendía una fórmula de wikipedia https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Legendre
Dos funciones están relacionadas mediante una transformada de Legendre $g(y)=L[f(x)]$

$$Df=(Dg)^{-1}$$

Según creo entender.

$$\frac{\partial f}{\partial x}=y(\frac{\partial g}{\partial y})$$

De aquí pues, cómo deduzco g a partir de f¿? Es decir la siguiente fórmula¿?

$$f(x)+g(y)=xy+C$$

Gracias.

[arivasm]

Re: Trensformada de Legendre

En mi opinión la mejor manera de entender las transformadas de Legendre es pensar en que se trata de pasar de una representación (x,y) para cada punto de una función a otra en la que se emplean la pendiente, p, y ordenada en el origen, Y (permíteme que cambie la notación) de la tangente a la gráfica en dicho punto.

De esa manera, $\dst p=\frac{\partial f}{\partial x}$ e $Y=f-xp$. Por supuesto, debemos hacer la eliminación de x en la segunda, para lo que necesitaremos obtener $x(p)$.

Por ejemplo, si $y=x^2$, entonces $\dst p=2x$, $Y(p)=x^2-x(2x)=-x^2=-\frac{p^2}{4}$.

Por supuesto, este ejemplo es especialmente sencillo, pues ha sido muy fácil hacer la inversa de $p(x)$ a $x(p)$ necesaria para llegar a $Y(p)$, algo que no siempre será posible.

La transformación inversa no es complicada, al menos conceptualmente. De las relaciones anteriores tenemos que $f=Y+xp$. Como $Y=f-xp$ tenemos que $\dst x=-\frac{\partial Y}{\partial p}$.

Veamos un ejemplo sencillito, supongamos que $Y(p)=-p^3$ corresponde a una función f(x) definida sólo para x>0 (por ponerlo cómodo). Sabemos que $x=3p^2$, luego $p=\sqrt{x/3}$. Por tanto, $\dst f=-p^3+xp=-p^3-3p^3=-4p^3=-4\left(\frac{x}{3}\right)^\frac{3}{2}$.

Fíjate que en el proceso inverso tenemos el mismo problema que en el directo: no siempre podremos encontrar $p(x)$ explícitamente a partir de $x(p)$.

[carmelo]

Re: Trensformada de Legendre

Hola.

De la definición de transformada de Legendre se puede escribir:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es la función inversa de $g^\prime(x)$ que no es lo mismo que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] que sería la derivada de $g^{-1}(x)$, la función inversa de $g(x)$.

Ahora integrando se tiene:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

En la seguna integral hagamos el siguiente cambio de variable:

$y=g^{\prime-1}(x)\Rightarrow g^\prime(y)=g^\prime[g^{\prime-1}(x)]=x$ y $\dd y=g^{\prime\prime}(y)\dd x$

Por lo tanto:
$f(x)=\dst\int y g^{\prime\prime}(y)\dd y=y g^\prime(y)-\dst\int g^\prime(y)\dd y=y g^\prime(y)-g(y)+C=x y-g(y)+C$

Donde se utilizó que $g^\prime(y)=x$

$f(x)+g(y)=xy+C$

Saludos
Carmelo

[alexpglez]

Re: Trensformada de Legendre

Perdonad, pero me pierdo en la explicación geométrica, entiendo que el objetivo es obtener una función distinta de una variable distinta pero que se relacione de alguna manera con la anterior función, pero no entiendo por qué esto involucra a la pendiente de la función original.

Estoy revisando Carmelo las operaciones. Primero $g$ no era función de una variable nueva¿? entonces indicas [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , ó $g'(y(x))=(\frac{d g(y(x))}{dx})^{-1}$

[arivasm]

Re: Trensformada de Legendre

La finalidad de la transformación es manejar en lugar de la variable la derivada parcial respecto de la misma. Un buen ejemplo es la energía interna. Pensemos en un sistema monocomponente sobre el que tan sólo se puede realizar trabajo de expansión. La energía interna cumple que $\dd U=T\dd S-p \dd V$. El volumen es una variable fácilmente medible, pero no sucede lo mismo con la entropía, pero sí con la temperatura. Si queremos manejar como variables la temperatura y el volumen podemos usar la transformada de Legendre, $F=U-TS$, de este modo tenemos el potencial termodinámico denominado función de Hemholtz.

A partir de aquí sería interesante ver cómo la condición de máxima entropía en situaciones en las que $U=cte$, o su equivalente de mínima energía interna en las que $S=cte$, se convierte en que $F$ será mínima si $T=cte$.

La entalpía, $H=U+pV$ se introduce por el mismo motivo, con el propósito de facilitar el estudio de sistemas en los que la variable es la presión (lo que se vuelve especialmente simple si $p=cte$). Si, además debemos tomar en consideración posibles cambios en la composición (de manera que la energía interna debe incorporar los potenciales químicos correspondientes, $\dd U=T \dd S-p\dd V+\sum \mu_i\dd n_i$) y nos interesa manejar como variables la presión y la temperatura, entonces la transformación de Legendre que nos interesa es la energía libre de Gibbs, $G=U-TS+pV$. En tal caso, la condición de energía interna mínima para $S=cte$ se transforma en $G$ mínima si $p=cte$ y $T=cte$, como te habrán contado en las clases de Química.

El hamiltoniano es otro ejemplo de transformación de Legendre, en este caso aplicado a la lagragiana, y aplicada a todas las coordenadas (una alternativa es el routhiano, en el que la transformación se aplica de manera "inteligente", eligiendo sólo las coordenadas más convenientes). La finalidad es esencialmente la misma que lo dicho anteriormente, salvo que ahora los motivos son algo más complejos (por tratarse de un problema de extremales).

De todos modos, soy consciente de que tú estás interesado más en los aspectos matemáticos que en los físicos, de manera que mi respuesta quizá no ayude demasiado.

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Por cierto, en las expresiones que pones la $C$ es una constante arbitraria, que usualmente se toma como 0, con lo que la transformación tiene la interpretación punto-pendiente a la que me referí antes.

[alexpglez]

Re: Trensformada de Legendre

Perdona Arivasm, termodinámica y química todavía no sé. Lo del Hamiltoniano sí, de hecho, ya lo había visto, aceptando la transformada de Legendre pero no entendiendo qué es. Es por eso principalmente que quería saber bien matemáticamente qué es una transformada de Legendre para entender qué pretendía Hamilton al inventar el Hamiltoniano.

Pero matemáticamente me pierdo en las diferencias entre $g(x)$ y $g(y)$, tampoco sé con respecto a qué se deriva.

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Vale creo que ya entiendo: $g'^{-1}(x)=y$ es la relación inversa de $x=g'(y)$ ó explícitamente:

$$x=\frac{\partial g}{\partial y}$$

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Una cosa que me impactó de esta transformada, en relación al cálculo variacional, en concreto a la acción. Es que se puede obtener una acción funcionalmente diferente pero equivalente numéricamente tal que se obtengan las ecuaciones de movimiento de Hamilton. Verdaderamente la transformada de legendre transforma el momento generalizado en una "coordenada" más!!