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Buenas, estoy con la demostración del teorema fundamental de la aritmética y para demostrar la unicidad de la descomposición primero tengo que demostrar que cada par de enteros a y b admite un divisor común de la forma:
Los teoremas y demostraciones proceden del libro Análisis Matematico de Tom. Apostol. No obstante, no entiendo la demostración que hace de este teorema. Sobre todo en la parte en la que empieza a suponer por simetría
¿Alguien podría aclararme esta demostración?
Saludos y gracias.
Los teoremas y demostraciones proceden del libro Análisis Matematico de Tom. Apostol. No obstante, no entiendo la demostración que hace de este teorema. Sobre todo en la parte en la que empieza a suponer por simetría
Demostración. Supongamos primeramente que a >= 0 Y b >= 0 y procedamos por inducción sobre n = a + b. Si n = 0, entonces a= b = 0 Y podemos tomar
d = 0 con x = y = 0. Supongamos entonces que el teorema ha sido probado para 0, 1, 2, ... , n - 1. Por simetría podemos suponer a >= b. Si b =0, entonces
d = a, x = 1, y = 0. Si b >= 1 podemos aplIcar la hipótesis de inducción a a - b y a b, ya que su suma es a = n - b =< n-1. Por lo tanto existe un divisor común d de a - b y b de la forma d = (a - b)x + by. Este entero divide también a (a - b) + b = a, luego d es un divisor común de a y de b y tenemos que d = ax + (y-x)b, es combinación lineal de a y b. Para completar la demostración debemos probar que cada divisor común divide a d. Como un divisor común divide a a y a b, dividirá también a la combinación lineal ax + (y - x)b = d. Esto completa la demostración si a >= 0 Y b >= 0. Si uno de ellos o ambos fuesen negativos, aplicaríamos el resultado que acabamos de demostrar a lal y |bl.
d = 0 con x = y = 0. Supongamos entonces que el teorema ha sido probado para 0, 1, 2, ... , n - 1. Por simetría podemos suponer a >= b. Si b =0, entonces
d = a, x = 1, y = 0. Si b >= 1 podemos aplIcar la hipótesis de inducción a a - b y a b, ya que su suma es a = n - b =< n-1. Por lo tanto existe un divisor común d de a - b y b de la forma d = (a - b)x + by. Este entero divide también a (a - b) + b = a, luego d es un divisor común de a y de b y tenemos que d = ax + (y-x)b, es combinación lineal de a y b. Para completar la demostración debemos probar que cada divisor común divide a d. Como un divisor común divide a a y a b, dividirá también a la combinación lineal ax + (y - x)b = d. Esto completa la demostración si a >= 0 Y b >= 0. Si uno de ellos o ambos fuesen negativos, aplicaríamos el resultado que acabamos de demostrar a lal y |bl.
Saludos y gracias.
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