Función Zeta

[Livilro]

Supongo será un pregunta incorrecta. En la función ζ,


ζ(s) = Σ 1 / n^s



conocemos de antemano los siguientes resultados :


ζ(2) = π^2/6

ζ(4) = π^4/90

ζ(6) = π^6/945

Etc


¿ Existe valor de "s" mayor que 0 y menor que 2 con el que la función converge a π (directamente) ?



ζ(?) = Σ 1 / n^? = π




Saludos y gracias.

[Alriga]

En la función ζ

ζ(s) = Σ 1 / n^s

... ¿ Existe valor de "s" mayor que 0 y menor que 2 con el que la función converge a π (directamente) ?

ζ(?) = Σ 1 / n^? = π

$\dst \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac 1{n^s}$

ζ(1.39425...) = π

Para s real la función ζ es real y continua entre $1<s<\infty$

Si para s=1.1 se obtiene ζ(1.1)=10.5844 > π

Y para s=2 se obtiene ζ(2)=$\dfrac{\pi^2}6$=1.64493 < π

La continuidad de la función permite aplicar el Teorema de Bolzano que te garantiza que existe algún x en el intervalo 1.1<x<2 para el cual ζ(x)=π

Un cálculo iterativo conduce a x~1.39425

Saludos.

[Livilro]

Gracias Alriga, que bueno,

¿Puedo hacer lo siguiente a partir de saber ese resultado?


π = L/ø = Σ 1 / n^1.39425.. ?

[Alriga]

¿Puedo hacer lo siguiente a partir de saber ese resultado?

π = L/ø = Σ 1 / n^1.39425.. ?

No entiendo.

¿Qué es L/ø ?

Saludos.

[Livilro]

Longitud de una circunferencia/longitud de su diámetro

[Alriga]

¿Puedo hacer lo siguiente a partir de saber ese resultado?

π = L/ø = Σ 1 / n^1.39425.. ?

No entiendo.

¿Qué es L/ø ?

Longitud de una circunferencia/longitud de su diámetro

Por un lado, $\pi$ es por definición el cociente entre el perímetro L y el diámetro $\phi$ de cualquier circunferencia.

Por otro lado hemos demostrado que $\dst \pi=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac 1{n^{1.39425\dots}}$

Luego es evidente que puedes escribir

$\dst \pi=\dfrac L{\phi}=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac 1{n^{1.39425\dots}}$

Perdón, me extrañaba mucho que lo que preguntabas fuera eso. Saludos.

[Livilro]

Ok, gracias Alriga