1r ciclo Duda en demostración

[alexpglez]

Hola, estaba leyendo este documento http://casanchi.com/mat/naturales01.pdf para entender mejor el concepto de número natural desde un punto de vista lógico.
Mi duda general es en las demostraciones, se define un conjunto A y se llega a la conclusión de que éste es el mismo que el de los números naturales A=N. Pero no entiendo cómo a partir de ahí se concluye con las propiedades de la operación en concreto que se analiza.
Por ejemplo pág 3, teorema 2.2:
Demostración propiedad asociativa:

$$\forall a,b,c \in N \;\;\; a+(b+c)=(a+b)+c$$

Sea:

$$A=\{a \in N,\; (a+b)+c=a+(b+c), \; \forall b,c \in N \}$$

Aplicando las propiedades y finalmente el 5 axioma:

$$0 \in A, \; \forall a \in A \; \rightarrow \; \phi(a) \in A \;\;\; \Rightarrow \;\;\; A=N$$

Se demuestra la propiedad asociativa.


Mis dudas en concreto son:
- ¿$b$ y $c$ pueden tomar cualquier valor de los naturales?
- ¿$a$ sólo puede tomar algunos valores de los naturales? Es decir, que pudiera ser que $a$ no puede tomar cierto valor $X \in N$ pero si puede tomar el valor $Y \in N$, es así¿?
- ¿La operación suma que se define en el conjunto $A$ tiene todas las propiedades de la suma en $N$ (demostradas hasta ese momento), y sólo cumple esa propiedad asociativa para ciertos valores naturales de $a$?
- ¿A está dotado entonces de las operaciones pertinentes, tales como la operación siguiente? ¿Y esto no da lugar a contradicción, puesto que definimos que a, b y c son naturales y por tanto pueden ser argumentos de la operación siguiente?

Entonces se supone que no hay ninguna contradicción en la definición, y finalmente que ese conjunto $A$, es de los naturales, es decir, A=N y a puede tomar cualquier valor de los naturales¿? Es decir, puesto que A=N, y la regla de asociatividad definimos que es válida en A, pasa a ser válida en N¿?

[angel relativamente]

Re: Duda en demostración

- ¿$b$ y $c$ pueden tomar cualquier valor de los naturales?
- ¿$a$ sólo puede tomar algunos valores de los naturales? Es decir, que pudiera ser que $a$ no puede tomar cierto valor $X \in N$ pero si puede tomar el valor $Y \in N$, es así¿?
- ¿La operación suma que se define en el conjunto $A$ tiene todas las propiedades de la suma en $N$ (demostradas hasta ese momento), y sólo cumple esa propiedad asociativa para ciertos valores naturales de $a$?
- ¿A está dotado entonces de las operaciones pertinentes, tales como la operación siguiente? ¿Y esto no da lugar a contradicción, puesto que definimos que a, b y c son naturales y por tanto pueden ser argumentos de la operación siguiente?

Entonces se supone que no hay ninguna contradicción en la definición, y finalmente que ese conjunto $A$, es de los naturales, es decir, A=N y a puede tomar cualquier valor de los naturales¿? Es decir, puesto que A=N, y la regla de asociatividad definimos que es válida en A, pasa a ser válida en N¿?

-Sí, $b,c$ son naturales arbitrarios, de ahí que en el conjunto te pongan $\forall b,c \in N$
-A priori solo sabes que $a\in A$ que es un subconjunto de los naturales. Por tanto en efecto podría ser que $\exists n\in N$ tal que $n \notin A$ (todo y que al final se demuestra que el contenido es una igualdad y por tanto eso solo podría ser si no verificase la asociativa).
-En efecto, tal y como está orientada la demostración a $+$ de $A$ no le puede dar las propiedades conmutativa ni cancelativa. No obstante observa que $A$ se define como "el subconjunto de los naturales que verifican la asociativa".
-No entiendo muy bien lo que quieres decir aquí. La operación siguiente, $\varphi$, la define para cualquier natural. En particular queda definida para los elementos de $A$ al ser este un subconjunto de los naturales. Lo que no veo es la contradicción.
-Básicamente es eso. No obstante, no es que de pronto la asociativa pase a ser válida en $N$. Has definido el subconjunto $A$ de $N$ que verifican la asociativa. Por tanto los elementos de $A$ verifican la asociativa. Acabas demostrando que cualquier elemento de $N$ está en $A$, por tanto cualquier natural verifica la asociativa que es lo que querías demostrar.

[alexpglez]

Re: Duda en demostración

Lo que no veo es la contradicción.

No no, me he expresado mal, quería preguntar si no podría dar alguna contradicción, argumentando en contra ya que las definiciones aparentemente no muestran ninguna contradicción aparente.

De todas formas si hubiese alguna cosa rara en la definición saldría a la luz, tipo, querer definir:

$$A=\{a\in N \; ab=0 \; \forall b \in N \}$$

Ó:

$$A=\{a\in N \; ab=-5 \; \forall b \in N \}$$

Saldrían como resultados que:

$$A=\{a=0\}$$

Y en 2 que A es el conjunto nulo.
Es así¿?

[angel relativamente]

Re: Duda en demostración

Así es, utilizando las propiedades tendías que llegar a eso.
Por cierto, el conjunto (1) que defines es muy interesante en álgebra abstracta y se conoce como el conjunto de los divisores de cero. Para los naturales no tiene interés, pero para otros conjuntos sí que pueden haber diversos divisores de cero.