Demostar que es sobreyectiva

[crishchess]

Hola estoy estudiando funciones y tengo problemas con este ejercicio

Demuestre que la funcion $f : [0, 2 [ \longrightarrow{} ] - \infty , 0]$tal que $f(x) = \displaystyle\frac{x}{x-2}$ es sobreyectiva

Tengo entendido que para que sea sobreyectiva el codominio tiene que ser igual al recorrido, es decir, $] \infty , 0] = rec f(x)$ pero el recorrido de f(x) es todo los reales menos $1$ asi que no se como demostrarlo

Saludos

[Alriga]

Hola crishchess , bienvenido a La web de Física, en primer lugar como miembro reciente, lee con atención Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva.

Entiendo que te has olvidado un signo en el infinito y que lo que realmente pregunta el ejercicio es que demuestres que la función

$f : [0, 2 [ \quad \longrightarrow \quad ]-\infty , \ 0] \ t. q. \ f(x) = \dfrac{x}{x-2}$ es sobreyectiva.

Debemos demostrar que

$\forall y \in \ ]-\infty, \ 0] \ \exists x \in [0, \ 2[ \ t.q. \ y=\dfrac{x}{x-2}$

Despejamos x

$x=\dfrac{2y}{y-1}$

Observamos que la función está definida excepto en el punto y=1, pero ese punto no pertenece a $]-\infty, \ 0]$ por lo tanto la función está bien definida en $]-\infty, \ 0]$ . Ahora busquemos el valor en los extremos del intervalo.

$\dst x(-\infty)=\lim_{y\rightarrow -\infty} \dfrac{2y}{y-1}=\lim_{y\rightarrow -\infty} \dfrac 2{1-\dfrac 1 y}=\dfrac 2{1-\dfrac 1{-\infty}}=\dfrac 2{1+0}=2$

$x(0)=\dfrac{2\cdot 0}{0-1}=0$

Hagamos la derivada:

$x'=\dfrac{-2}{(y-1)^2} < 0 \ \forall y$

Vemos que es negativa siempre, luego esta función es estrictamente decreciente.

Por ser $x=\dfrac{2y}{y-1}$ bien definida en el intervalo $]-\infty, \ 0]$, estrictamente decreciente y tener valor en los extremos que coinciden con el intervalo $[0, \ 2[$ podemos afirmar que

$f : [0, 2 [ \longrightarrow ] -\infty , \ 0] \ t. q. \ f(x) = \dfrac{x}{x-2}$ es sobreyectiva.

Saludos.

[crishchess]

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Entiendo que te has olvidado un signo en el infinito y que lo que realmente pregunta el ejercicio es que demuestres que la función

$f : [0, 2 [ \longrightarrow ] -\infty , \ 0] \ t. q. \ f(x) = \dfrac{x}{x-2}$ es sobreyectiva.

Debemos demostrar que

$\forall y \in \ ]-\infty, \ 0] \ \exists x \in [0, \ 2[ \ t.q. \ y=\dfrac{x}{x-2}$

Despejamos x

$x=\dfrac{2y}{y-1}$

Observamos que la función está definida excepto en el punto y=1, pero ese punto no pertenece a $]-\infty, \ 0]$ por lo tanto la función está bien definida en $]-\infty, \ 0]$ . Ahora busquemos el valor en los extremos del intervalo.

$\dst x(-\infty)=\lim_{y\rightarrow -\infty} \dfrac{2y}{y-1}=\lim_{y\rightarrow -\infty} \dfrac 2{1-\dfrac 1 y}=\dfrac 2{1-\dfrac 1{-\infty}}=\dfrac 2{1+0}=2$

$x(0)=\dfrac{2\cdot 0}{0-1}=0$

Hagamos la derivada:

$x'=\dfrac{-2}{(y-1)^2} < 0 \ \forall y$

Vemos que es negativa siempre, luego esta función es estrictamente decreciente.

Por ser $x=\dfrac{2y}{y-1}$ bien definida en el intervalo $]-\infty, \ 0]$, estrictamente decreciente y tener valor en los extremos que coinciden con el intervalo $[0, \ 2[$ podemos afirmar que

$f : [0, 2 [ \longrightarrow ] -\infty , \ 0] \ t. q. \ f(x) = \dfrac{x}{x-2}$ es sobreyectiva.

Saludos.

Gracias solo una consulta. ¿Se puede demostrar sin usar limites ni derivadas?

Saludos