Secundaria Suma los impares entre 100 y 500

[crishchess]

Hola me piden que halle la suma de todos los números impares entre $100$ y $500$

Necesito que corroboren si lo que hice es correcto:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{500}{(2k-1)} - \displaystyle\sum_{k=1}^{100}{(2k-1)}$

$= \displaystyle\sum_{k=1}^{500}{2k} - \displaystyle\sum_{k=1}^{500}{1} - \displaystyle\sum_{k=1}^{100}{2k} - \displaystyle\sum_{k=1}^{500}{1}$

$= 2 \displaystyle\sum_{k=1}^{500}{k} - 500 - 2 \displaystyle\sum_{k=1}^{100}{k} - 100$

$= 2 \cdot (\displaystyle\frac{500(500+1)}{2}) -500 -2(\displaystyle\frac{100(100+1)}{2}) -100$

$= 500 \cdot 501 -500-101 \cdot 101 -100$

$= 239800$

Muchas gracias

Saludos

[Alriga]

Lo que te piden es la suma de una progresión aritmética de "diferencia" d = 2. En una progresión aritmética se cumple por definición que:

$$a_{k+1}=a_k + d$$

El primer sumando es $a_1=101$ y el último $a_n=499$

$S=\displaystyle\sum_{k=50}^{249}{(2k+1)}=101+103+105+ \dots +497+499$

k = 50, 51, 52, ... 248, 249

Hay por lo tanto n = 200 sumandos

Si miras en tu libro de texto hallarás la demostración de que la suma de una progresión aritmética se calcula mediante:

$$S=n \ \dfrac{a_1+a_n}2$$

$S=200 \ \dfrac{101+499}2$

¿Conoces la historia de Gauss en la escuela cuando tenia 9 años?

Saludos.

PD. Observa que la manera en como he expresado la suma:

$S=\displaystyle\sum_{k=50}^{249}{(2k+1)}$

No es única. También podría expresarla, por ejemplo, mediante:

$S=\displaystyle\sum_{k=1}^{200}{(2k+99)}$

En general, para las progresiones aritméticas se cumple:

$$a_n=a_1 + (n-1) \cdot d$$

Y es muy sencillo demostrar a partir de (1) y (2) que la suma en función del número de sumandos y de la "diferencia" es:

$$S=n \ \dfrac{2 a_1 + (n-1) \cdot d}2$$

[crishchess]

Interesante historia de Gauss y muy bien explicado.

Gracias

[Richard R Richard]

También puede ser útil que
$S=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(2k-1)}=n^2$

Calculando que el primer impar luego del 100 es el 101 cuyo k es el 51 , el último que no entra en el sumatorio es el k=50 y el último número el sumatorio es el 499 cuyo k es el 250 puedes escribir


$S_T=\displaystyle\sum_{k=51}^{250}{(2k-1)}=\sum_{k=1}^{250}{(2k-1)}-\sum_{k=1}^{50}{(2k-1)}=250^2-50^2=60000$