Encontrar término progresión aritmética

[crishchess]

Hola no me resulta el siguiente ejercicio

Si $A = \{ a_1 ,a_2 ,...\}$ es un P.A. que verifica simultáneamente las condiciones:
1. $d = 40$
2. La suma de los $20$ primeros términos es $650$ entonces determinar $a_{10}.$

Lo que realice:

$a_n = a_1 +(n-1)d$
$a_n = a_1 +(n-1)40$
$a_n = a_1 +40n-40$

Como la suma de los 20 términos es 650: (de acá pretendo encontrar $a_1$)

$\displaystyle\sum_{i=1}^{20}{(a_1 +40i-40)= 650}$

$\displaystyle\sum_{i=1}^{20}{a_1} + \displaystyle\sum_{i=1}^{20}{40i} - \displaystyle\sum_{i=1}^{20}{40}=650$

$20a_1+ 40 \displaystyle\sum_{i=1}^{20}{i} -40 \cdot 20 = 650$

$20a_1 + 40 \cdot \displaystyle\frac{20 \cdot 21 }{2} - 800 = 650$

$20a_1 + 20 \cdot 420 - 800 = 650$

$20a_1 + 8400 - 800 = 650$

- Despejando $a_1$

$a_1 = - \displaystyle\frac{6950}{20}$ No resulta un número entero


Saludos

[Alriga]

$a_1 = - \displaystyle\frac{6950}{20}$ No resulta un número entero...

¿Y qué? En las progresiones aritméticas no es obligatorio que los términos sean enteros. Por ejemplo una progresión aritmética puede ser de $a_1=\pi$ con $d=\sqrt 2$ que no tendría ningún número entero, ni siquiera ninguno racional.

Una forma rápida de resolver el ejercicio es recordando que en el hilo https://forum.lawebdefisica.com/forum/el-aula/métodos-matemáticos/356097-suma-los-impares-entre-100-y-500?p=356100#post356100 vimos la expresión:

$$S_n=n \ \dfrac{2 a_1 + (n-1) \cdot d}2$$

Sustituimos:

$n=20$

$S_{20}=650$

$d=40$

$650=20 \ \dfrac{2 a_1 + (20-1) \cdot 40}2$

Despejamos:

$a_1=-347.5$

Para hallar el décimo término aplicamos:

$$a_n=a_1 + (n-1) \cdot d$$

$a_{10}=-347.5 + (10-1) \cdot 40=12.5$

Saludos.

[Richard R Richard]

No resulta un número entero

El único número en una progresión aritmética que debe ser un entero es $n$.
Cuando construyes un sumatorio el número$i ,j,k$, o el que definas como variable también es un entero.

En la progresión $a_0$ y $d$ pueden ser cualquier número real (eso incluye a los enteros, racionales e irracionales).
por alguna razón que desconozco no incluyen números complejos.(supongo funciona igual pero más difícil su definición) .

https://es.m.wikipedia.org/wiki/Prog...ritm%C3%A9tica.

Si $a_0=e^\pi$ y $d=-\sqrt 2$

Puedes formar una progresión válida sin problemas.

[crishchess]

Gracias como siempre por las aclaraciones.

Saludos