Resolver problema media aritmética

[crishchess]

Hola tengo problemas con este ejercicio:


Un carpintero desea construir una escalera con nueve barrotes cuyas longitudes disminuyen de manera uniforme de$24$ pulgadas en la base a $18$ pulgadas en la parte superior. Determinar las longitudes de los siete barrotes intermedios.

- Mi intento:

Podemos insertar 8 medias aritméticas y mantendrá la progresión aritmética quedando:

$24,m_1,m_2,....m_8,18$.

Lo podemos escribir como:

$24, 24+d , 24+2d, 24+3d , ...., 18$

Encontrando d

$a_n=a_1 + (a_n-1)d$
$a_9 = 24 + (9-1) d$
$18=24+8d \Rightarrow{d=-\displaystyle\frac{3}{4}}$

Por lo que $a_2= 24- \displaystyle\frac{3}{4} =\displaystyle\frac{93}{4}$

Ahora deberia restar $a_2- a_1$ para encontar la emdida de un barrote pero no consigo llegar al resultado de la guia $18.75, 19.5, 20.25, 21, 21.75, 22.5, 23.25$

[Alriga]

$a_n=a_1 + (\cancel{a_n}-1)d$

$\boldsymbol{a_n=a_1 + (n-1)d}$

$a_9 = 24 + (9-1) d$

$18=24+8d \Rightarrow{d=-\displaystyle\frac{3}{4}}=-0.75$

Correcto. Has obtenido que la diferencia es d = -0.75 Por lo tanto partimos de 24 y debemos restar 0.75 a cada término para hallar el siguiente

a1 = 24
a2 = 23.25
a3 = 22.5
a4 = 21.75
a5 = 21
a6 = 20.25
a7 = 19.5
a8 = 18.75
a9 = 18

Los 7 barrotes intermedios son los que están en azul negrita.

Saludos.

[Richard R Richard]

Si la progresión es $a_i=a_0+(i-1) d$

El promedio es

$\overline{x}=\dst\sum\limits_{i=1}^n\dfrac {a_i}{n}=\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{a_0+(i-1)d}{n}$

Recordando que $d=\dfrac{a_n-a_0}{n-1}$

$\overline{x}=\dst\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{a_0}{n}+\sum\limits_{i=1}^ni\dfrac{a_n-a_0}{n(n-1)}-\dst\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{a_n-a_0}{n(n-1)}$

$\overline{x}=\dfrac{n a_0}{n}+\dfrac{n(n+1)a_n}{2(n-1)n}-\dfrac{n(n+1)a_0}{2(n-1)n}-\dfrac{na_n}{(n-1)n}+\dfrac{na_0}{(n-1)n}$

$\overline{x}=\dfrac{a_02(n-1)+(n+1)a_n-(n+1)a_0-2a_n+2a_0}{2(n-1)}$

$\overline{x}=\dfrac{a_0(2n-2-n-1+2)+a_n(n+1-2)}{2(n-1)}$

$\overline{x}=\dfrac{a_0(n-1)+a_n(n-1)}{2(n-1)}=\dfrac{(a_0+a_n)(n-1)}{2(n-1)}=$

$\overline{x}=\dfrac{a_0+a_n}{2}=\dfrac{24+18}{2}=21$