Demostrar progresión aritmética

[crishchess]

Hola tengo dudas con esta demostración

Si $a, b, c$ están en progresión aritmética y $b, c, d$ están en progresión armónica, demostrar que $ad = bc.$

- Como $a, b, c$ están en progresión aritmética lo podemos escribir como:

$a=a$
$b=a+d^{\prime}$
$c= a+ 2d^{\prime}$

- Como $b, c, d$ están en progresión armónica implica que sus recíprocos están en progresión aritmética, es decir,

$\displaystyle\frac{1}{b} , \displaystyle\frac{1}{c} , \displaystyle\frac{1}{d}$ estan en progresion aritmetica y lo podemos escribir como:

$\displaystyle\frac{1}{b} = \displaystyle\frac{1}{b}$

$\displaystyle\frac{1}{c} = \displaystyle\frac{1}{b} + d^{\prime\prime}$

$\displaystyle\frac{1}{d} = \displaystyle\frac{1}{b} + 2d^{\prime\prime}$

Entiendo que no tiene porque ser $d^{\prime} = d^{\prime\prime}$ Intente despejar $b$ y $c$ y reemplazarlas $\displaystyle\frac{1}{c} = \displaystyle\frac{1}{b} + d^{\prime\prime}$ pero no me resulta

Muchas gracias.

Un saludo

[Alriga]

La condición de progresión aritmética de a, b, c implica:

$c-b=b-a$

Cambiando signos en ambos miembros

$$b-c=a-b$$

La condición de progresión armónica de b, c, d implica:

$$\dfrac bd=\dfrac{b-c}{c-d}$$

Sustituimos (1) en (2)

$\dfrac bd=\dfrac{a-b}{c-d}$

Multiplicamos en cruz

$bc-bd=ad-bd$

Por lo tanto

$ad=bc$

c.q.d.

Saludos.