Demostrar que están en progresión armónica

[crishchess]

Hola no consigo demostrar lo siguiente:

Si $a^2, b^2, c^2$ están en progresión aritmética., demuestre que $(c + b), (a + c)$ y $(b + a)$ están en progresión armónica.

Un saludo.

[Alriga]

$a^2, b^2, c^2$ están en progresión aritmética

Eso significa que

$c^2-b^2=b^2-a^2$

Recordando "suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados"

$(c+b)(c-b)=(b+a)(b-a)$

$\dfrac{c+b}{b+a}=\dfrac{b-a}{c-b}$

$\dfrac{c+b}{b+a}=\dfrac{b-a+c-c}{c-b+a-a}$

$\dfrac{c+b}{b+a}=\dfrac{(c+b)-(a+c)}{(a+c)-(b+a)}$

Si llamamos:

$c+b=A$

$a+c=B$

$b+a=C$

Vemos que se cumple que:

$\dfrac A C=\dfrac{A-B}{B-C}$

Que es la condición de progresión armónica para A, B y C

Saludos.