Demostrar que es una progresión geométrica

[crishchess]

Hola no consigo hacer la siguiente demostración

Demostrar que si $\displaystyle\frac{1}{2}(a+b)$ , $b$ , $\displaystyle\frac{1}{2}(b+c)$ se encuentran en progresión armónica entonces $a,b,c$ están en progresión geométrica

Saludos

[Alriga]

Si A, B, C están en progresión armónica cumplen:

$\dfrac A C=\dfrac{A-B}{B-C}$

En nuestro caso

$\dfrac{\dfrac 1 2(a+b)}{\dfrac 1 2 (b+c)}=\dfrac{\dfrac 1 2(a+b)-b}{b-\dfrac 1 2 (b+c)}$

Operando

$\dfrac{a+b}{b+c}=\dfrac{a-b}{b-c}$

Multiplicando en cruz y simplificando:

$b^2=ac$

Una progresión geométrica a, b, c de razón r cumple:

$\dfrac b a=\dfrac c b=r$

Que es equivalente (multiplicando en cruz) a:

$ac=b^2$

Saludos.