Encontrar una progresión aritmética

[crishchess]

Hola no consigo resolver el siguiente ejercicio es uno de los últimos de una guía que desarrollo

Hallar una progresión aritmética cuyo primer término es $1$ y tal que los términos de lugares $2,10$ y $34$ se encuentre en progresión geométrica.



Un saludo

[Alriga]

En general una progresión aritmética:

$a_i=a_1+(i-1)d$

En nuestro caso:

$a_1=1$

$a_2=1+d$

$a_{10}=1+9d$

$a_{34}=1+33d$

Si $a_2, \ a_{10} \ y \ a_{34}$ son términos consecutivos de una progresión geométrica deben cumplir:

$\dfrac{a_{34}}{a_{10}}=\dfrac{a_{10}}{a_2}$

Sustituyendo:

$\dfrac{1+33d}{1+9d}=\dfrac{1+9d}{1+d}$

Despejamos la diferencia d:

$d=\dfrac 1 3$

Por lo tanto la progresión aritmética buscada tiene $a_1=1$ como primer elemento y $d=\dfrac 1 3$ como diferencia.

$a_2=1+\dfrac 1 3$

$a_{10}=4$

$a_{34}=12$

Comprueba que estos 3 elementos están en progresión geométrica de r=3

Saludos.

[crishchess]

Muchas gracias

$a_2, a_{10}, a_{34}$ están en progresión geométrica

$\displaystyle\frac{4}{3},4,12$ están en progresión geométrica

$\displaystyle\frac{4}{\displaystyle\frac{4}{3}} = \displaystyle\frac{12}{4} =3$

Por lo tanto están en progresión geométrica $r=3$