Demostrar que están en progresión aritmética

[crishchess]

Hola tengo dudas con una última demostración ni siquiera entiendo bien el enunciado

Si $\displaystyle\frac{a-b}{b-c} = \displaystyle\frac{a}{d}$ demostrar que $a,b,c$ están en progresión aritmética si $a=d$; en progresión geométrica si $b=d$ y en progresión armónica si $c=d$


Un saludo

[Richard R Richard]

Creo que ya te lo demostraron aqui https://forum.lawebdefisica.com/foru...-arm%C3%B3nica

y Aqui https://forum.lawebdefisica.com/foru...ritm%C3%A9tica

revisa los hilos que tu mismo iniciaste.

[crishchess]

Creo que ya te lo demostraron aqui https://forum.lawebdefisica.com/foru...-arm%C3%B3nica

y Aqui https://forum.lawebdefisica.com/foru...ritm%C3%A9tica

revisa los hilos que tu mismo iniciaste.

Si Richard gracias por responder

Entiendo que si $a,b,c$ estan en progresión aritmética va a ocurrir que $b-a=c-b$ que es basicamente a lo que tengo que llegar pero me confunde las igualdades (condiciones) del $d$ pues me dice que tiene que estar en progresión geométrica y progresión armónica y no se como plantear esas partes.


Un saludo

[Richard R Richard]

Hola tengo dudas con una última demostración ni siquiera entiendo bien el enunciado

Si $\displaystyle\frac{a-b}{b-c} = \displaystyle\frac{a}{d}$ demostrar que $a,b,c$


A) están en progresión aritmética si $a=d$;


B) en progresión geométrica si $b=d$


C) y en progresión armónica si $c=d$


Un saludo

A ) si $\displaystyle\frac{a-b}{b-c} = \displaystyle\frac{a}{d}$ y además $a=d$ entonces

$\displaystyle\frac{a-b}{b-c} = \displaystyle\frac{a}{a}=1$

de aqui pasando términos

$a-b=b-c =D$

dos numero consecutivos $ab$ de la progresión estan separadas por la distancia $D$ constante por eso es una progresión aritmética

$a_n=a+(n-1)D$


B)si $\displaystyle\frac{a-b}{b-c} = \displaystyle\frac{a}{d}$ y además $b=d$ entonces

$\displaystyle\frac{a-b}{b-c} = \displaystyle\frac{a}{b}$

$\displaystyle\frac{a-b} {a}= \displaystyle\frac{b-c}{b}$

$1-\dfrac{b} {a}= 1-\dfrac{c}{b}$

$\dfrac{b} {a}= \dfrac{c}{b}$

$c=ab^2$

que es una progresión geométrica ya que el tercer elemento resulta con un cuadrado y $b =R$

$a_n=a R^{(n_1)} =a b^{(n-1)}=$

para $n=3$ sucede que $a_3=c=ab^{(3-1)}=ab^2$


C) si $\displaystyle\frac{a-b}{b-c} = \displaystyle\frac{a}{d}$ y además $c=d$ entonces

$\displaystyle\frac{a-b}{b-c} = \displaystyle\frac{a}{c}$ que es la definición de progresión armónica

[crishchess]

Gracias Richard agradezco que tomes las molestias de explicarlo tan detalladamente. Los hilos anteriores si los leí pero no supe como relacionarlos pero ahora me quedó muy claro lo referente a esto.

Saludos