Organización de conjuntos.

[javisot20]

En teoría de conjuntos el cardinal es un código que representa el número de elementos de un conjunto dado.

Siendo un código, el cardinal no tiene valor real pero aún así sirve para organizar conjuntos con distintos cardinales siempre que demostremos la existencia de un conjunto con más elementos y otro con menos elementos que el conjunto dado.

Equivalente decir "un cardinal mayor y un cardinal menor que un cardinal dado".

Si podemos demostrar lo anterior entonces el conjunto es "organizable" al poder definir su posición en una organización de menor a mayor, y viceversa.




Podríamos pensar que aquel conjunto no demostradamente definido entre 2 conjuntos no ocupa lugar en la organización, pero no es correcto,
aún no pudiendo demostrar su posición entre 2 conjuntos dados puede ser que demostremos su posición entre otros 2 conjuntos dados diferentes.

Este sería un conjunto "parcialmente organizable" ocupando una posición no definida con precisión arbitraria en la organización. Es producto de comparar 3 conjuntos infinitos numerables. En esta comparación no tenemos método matemático para contar exactamente el número de elementos de cada uno de los 3 conjuntos.

En conjuntos finitos el cardinal puede representar exactamente la cantidad de elementos, en conjuntos infinitos el cardinal no representa la cantidad de elementos.



Nombrar también dentro de la organización a los "conjuntos extremos", esto es, aquellos conjuntos en los que solo podemos demostrar la existencia de un conjunto menor o uno mayor, pero no la existencia de ambos.

Su posición es fácilmente definible. Podemos inferir que hablamos del mayor de todos los conjuntos que queremos organizar si no podemos demostrar la existencia de otro mayor.

Por el contario, si podemos demostrar la existencia de un conjunto mayor pero no la de uno menor inferimos que hablamos del conjunto más pequeño de los que queremos organizar.




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La duda es,

si no puedo asegurar que exista un conjunto entre 2 conjuntos, pero por el contrario puedo demostrar que existe un nuevo conjunto imaginario organizable respecto a todos los demás conjuntos disponibles,

¿ puedo decir que existe un nuevo conjunto imaginario entre 2 conjuntos aunque pareciese que no podía haber nada ?

Saludos y gracias de antemano.

[javisot20]

Reduzco lo anterior,



A- ¿ Existe algo entre el conjunto finito con mayor cantidad de elementos y el conjunto infinito numerable con menor cantidad de elementos ?"


B- ¿ Para resolverlo es necesario poder demostrar que 2 conjuntos infinitos numerables son diferentes por 1 único elemento de diferencia ?


C- ¿ La pregunta B es lo que el teorema de incompletitud nos recuerda que no podremos hacer ?
(de una manera generalizada)

[carroza]

Hola.

El "conjunto finito con mayor cantidad de elementos" no existe. Es por la misma razón que el "numero natural mayor que todos los demás numeros naturales" no existe.

Saludos

[javisot20]

¿No existe?, ¿ acabamos de resolver la hipótesis del continuo con una respuesta negativa ?

Por mi ok, ¿ pero como demuestro esa respuesta negativa ?

[Alriga]

¿No existe?, ¿acabamos de resolver la hipótesis del continuo con una respuesta negativa?

Hola javisot20 , nota que la hipótesis del continuo no tiene nada que ver con lo que te ha dicho carroza

* Hipótesis del continuo: "No existe ningún conjunto infinito cuyo tamaño sea mayor que los naturales y menor que los reales"


Dice carroza

* El "conjunto finito con mayor cantidad de elementos" no existe

* el "numero natural mayor que todos los demás números naturales" no existe.

Como se ve, ninguna de las dos correctas afirmaciones de carroza tiene nada que ver con la hipótesis del continuo.

Entiendo que tu pregunta:

A- ¿ Existe algo entre el conjunto finito con mayor cantidad de elementos y el conjunto infinito numerable con menor cantidad de elementos ?"

No está rigurosamente bien formulada. Yo creo que lo que intentas preguntar es:

"¿Es el numerable el conjunto infinito de menor tamaño? Y si lo es, también preguntas ¿Cuál es la demostración?"

Saludos.

[javisot20]

No está rigurosamente bien formulada. Yo creo que lo que intentas preguntar es:

"¿Es el numerable el conjunto infinito de menor tamaño? Y si lo es, también preguntas ¿Cuál es la demostración?"

Saludos.

Gracias Alriga, perdón los fallos de lenguaje....intento mejorar. Eso quería decir.



Al preguntar:

1- ¿puede existir algo entre los naturales y los reales?

2- ¿puede existir algo entre los conjuntos finitos y los conjuntos infinitos?


¿ La 2 no viene a ser una generalización de la 1?, ¿la demostración en ambos casos si seria la misma ?


El problema no sería simplemente demostrar la existencia de un número natural mayor que todo el conjunto de los naturales, usamos un símbolo nuevo para expresarlo y solucionado.
Lo que aun así no puedo demostrar es que este nuevo conjunto es mayor que todo el conjunto de los naturales por la diferencia de un único elemento.


Mientras la diferencia de tamaño entre dos conjuntos infinitos numerables sea notable no hay problema, pero si su proximidad es máxima (como en el caso de los naturales y los reales) entonces todo se tuerce. Solo puede hipotetizar que no existe nada entre ambos porque no tengo un lenguaje lo suficientemente extenso para expresar cardinales.

[Alriga]

La hipótesis del continuo (HdC), la que dice “No existe ningún conjunto infinito cuyo tamaño sea mayor que los naturales y menor que los reales” es un tema a priori, resuelto:

1. Georg Cantor ideó esta conjetura en 1878 e intentó demostrarla, sin conseguirlo antes de morir (en un manicomio), en 1918.

¿Qué entendemos por demostrar esta hipótesis? Entendemos que es deducirla a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos, (axiomas de Zermelo-Fraenkel)

2. En 1940 Kurt Godel demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos

3. En 1963 Paul Cohen demostró que la hipótesis del continuo no puede probarse a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos.

Punto final. La HdC es indecidible a partir de los axiomas. Solo podemos “forzar” que sea cierta o que sea falsa, añadiendo algún otro axioma que incline la balanza hacia el lado que nosotros deseemos.


Es un tema parecido a la “hipótesis de las paralelas” (HdP) de la geometría euclídea. Recuerda que la HdP decía que “por un punto exterior a una recta solo puede trazarse una paralela” Durante siglos se intentó demostrarla a partir del resto de axiomas de la geometría que aparecían en el libro “Los Elementos” de Euclides, sin éxito. Finalmente, en los siglos 18 y 19 se vio que era indemostrable (repito, a partir del resto de axiomas) Entonces había 3 vías:

1. Aceptarla cierta como un nuevo axioma: “por un punto exterior a una recta solo puede trazarse una paralela” (es lo que había hecho en su día Euclides). Con ello tenemos la geometría llamada “euclídea” o “plana”

2. Establecer como axioma: “por un punto exterior a una recta puede trazarse más de una paralela”, con ello tenemos la geometría hiperbólica.

3. Establecer como axioma: “por un punto exterior a una recta no puede trazarse ninguna paralela”, con ello tenemos la geometría esférica.

Puede interesar un hilo anterior en el que también se habló sobre el tema, es La demostración más bella de las matemáticas

Saludos.

[javisot20]

¿Qué entendemos por demostrar esta hipótesis? Entendemos que es deducirla a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos, (axiomas de Zermelo-Fraenkel)

2. En 1940 Kurt Godel demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos

3. En 1963 Paul Cohen demostró que la hipótesis del continuo no puede probarse a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos.

Punto final. La HdC es indecidible a partir de los axiomas. Solo podemos “forzar” que sea cierta o que sea falsa, añadiendo algún otro axioma que incline la balanza hacia el lado que nosotros deseemos.


Saludos.

Quedó resuelto exclusivamente que la hipótesis es indecidible para la teoría de conjuntos según los axiomas de Zermelo-Fraenkel.

La demostración general (no parcial, como las realizadas por Gödel y Cohen) sería demostrar que la hipótesis del continuo no puede ser resuelta por ninguna teoría. Es decir, demostrar que aún añadiendo axiomas para resolver la hipótesis nunca deberíamos poder demostrar que es cierta o falsa.




¿Existe algo entre la geometría hiperbólica y la esférica?, ¿ o entre la plana y la hiperbólica ?

[Alriga]

...¿Existe algo entre la geometría hiperbólica y la esférica?, ¿o entre la plana y la hiperbólica?...

Bueno, puedes intentar reflexionar para responderte a ti mismo:

¿Hay algo entre "ninguna paralela" y "1 paralela"?

¿Hay algo entre "1 paralela" y "más de 1 paralela"?

Saludos.

[javisot20]

Es indecidible para todo caso, por lo menos con números ordinarios.


Tengo una recta paralela (o más) respecto de un punto. El punto es el conjunto de A y la recta el conjunto B, preguntamos si puede existir algo entre ambos.

Para ello tengo que comparar estos 2 conjuntos.


-Si existe biyección, no puede existir nada entre ambos y se cumple que A=B conteniendo los mismos elementos.

-Si no existe biyección, puede existir un nuevo conjunto entre ambos, en este caso A no es igual a B.



Es fácil cuando comparo conjuntos finitos
Un conjunto finito de cardinal 5, otro de 6 y otro de 7 sabemos fácilmente que 5<6<7.

Con conjuntos infinitos eso no funciona. Llegará un punto donde los conjuntos infintos que me sigan dando para organizar deban situarse totalmente próximos de otros conjuntos infinitos, pudiendo considerar que solo difieren en una unidad o que realmente son el mismo, pero teniendo que demostrarlo.

La respuesta es trivial pero no la demostración.


No puede demostrarse una única respuesta para las hipótesis pero tienen potencial para construir lenguajes cada vez más extensos.

[carroza]

Hola.

Una entrada muy accesible sobre conjuntos infinitos, pero numerables https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_numerable

Luego están los conjuntos infinitos, no numerables como los reales. Nada que añadir a lo presentado por Alriga.

Javisot, sería util si expresas cuál es tu duda, o desacuerdo, con lo que se conoce sobre conjuntos infinitos.

Un saludo

[Alriga]

Una entrada muy accesible sobre conjuntos infinitos, pero numerables https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_numerable

Sí, de acuerdo. También es muy instructivo el ejemplo de El Hotel Infinito de Hilbert, (también hay versión del mismo en la Wikipedia)

javisot20 , nota que si, como hemos explicado arriba:

…podemos “forzar” que sea cierta o que sea falsa, añadiendo algún otro axioma que incline la balanza hacia el lado que nosotros deseemos...

Ello invalida que:

…La demostración general (no parcial, como las realizadas por Gödel y Cohen) sería demostrar que la hipótesis del continuo no puede ser resuelta por ninguna teoría. Es decir, demostrar que aun añadiendo axiomas para resolver la hipótesis nunca deberíamos poder demostrar que es cierta o falsa.

Saludos.

[javisot20]

Para considerar que existen conjuntos infinitos numerables y cumplir estrictamente lo que quiere decir numerable,
(igual de numerables que los números naturales),

¿ debería organizar de menor a mayor infinitos conjuntos infinitos de diferentes tamaños para poder distinguirlos por diferencias de 1 unidad ?

¿ o debería dejar de usar los naturales como patrón y usar siempre un conjunto mayor que el que quiera referenciar ?





Perdón la insistencia de estos dias, el tema actual sobre la ecuación de Beimar y una posible vía para resolver la hipótesis de Reimann me hace reflexionar sobre la base de los números, más de la cuenta...

(Al respecto, no creo que la han resuelto, incluso puede ser que terminen demostrando ser indemostrable, solo que tardarán más en darse con la incompletitud.)

[Richard R Richard]

Luego están los conjuntos infinitos no numerables como los reales.

Pongo una respuesta oculta para no desviar el planteo original

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Hubiese jurado que se podían contar los reales, para mi contar era saber cuantos en total había, es decir entiendo ahora que no son numerables, porque no hay biyección con los naturales.

Veía que si hay $\infty$ naturales,, un numero real tiene $\infty$ cifras, que son numerables, con diez números posibles que puede tomar, en cada una, por lo que según creo diría Cantor(que elige un numero distinto en cada cifra decimal. para su demostración de no numerabilidad, tengo 10 posibles números) hay por lo menos $10^\infty$ reales entre 0 y 1, por lo que habría $\infty\cdot 10^\infty$ reales positivos y otro tanto de reales negativos, un total de $2\cdot\infty\cdot 10^\infty$ números reales "no numerables" , esto es podemos estimar cuantos son, pero no contarlos usando el conjunto de los naturales,

Este planteo debe adolecer de algún fallo, o no?

Saludos

[carroza]

Hola, Richard.

Seguro que Javisot no se enfada si introducimos variaciones sobre su tema.

A ver, los numeros naturales son obviamente numerables.

Las parejas de números naturales, de tipo (a, b), donde a y b son naturales (o enteros), también son numerables. Siempre podemos definir una estrategia de numeración, de forma que empezamos con (0,0), luego (0,1), luego (1,0), luego (0,2), (1,1), (2,0). De esta manera, podemos prever que en un numero finito de pasos llegamos a (a,b), donde a y b son naturales finitos.
Como los numeros racionales son equivalentes a parejas de naturales (a,b), entonces los numeros racionales (p. ej 355/113), son numerables. O sea, que, extrañamente, los numeros raconales son tantos (tienen el mismo cardinal) que los numeros naturales.

Con estrategias similares podemos llegar a grupos de 3 naturales, grupos de 4 naturales, grupos de 10 naturales, en general grupos finitos de numeros naturales, y todos son numerables. Podemos usar una estrategia de numeracion que nos diga en que orden aparece el numero (a,b,....n).

Los numeros reales, sin embargo, no son numerables. Un numero real lo puedo expresar como una serie infinita de numeros racionales (o numeros decimales). Por tanto, no puedo hacer una estrategia que me diga cuando aparecera en una numeración el numero pi=3.141591...

Estas son cosas sabidas. Sin embargo, Javisot se quiere enfrenar con un hueso muy duro de roer, que es la hipótesis de Riemann.

Un saludo