Otras carreras Integración por Residuos

[danielandresbru]

Hola esta pregunta ya la había hecho antes pero vi que tenía unos errores así que decidí hacerla mejor y anexando una imágen

Quería calcular esta integral $\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{dx}{x^3+1}$ integrando por residuos. Hice la integral sobre el siguiente contorno :el eje Real desde 0 hasta R luego el troZo de circunferencia desde el punto R+i*0 hasta recorrer un angulo de 2pi/3, y luego la recta que une ese punto con el origen (tal como anexé en el dibujo).
En esta zona tengo un residuo $\displaystyle B=- \frac i3 (1+\sqrt 3)$,

luego $\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{dx}{x^3+1}=2\pi i B -\int_C \frac{dz}{z^3+1} - \int_L \frac{dz}{z^3+1}$ donde C es el trozo de circunferencia y L es la linea que une el punto $e^{\frac {2 \pi}3 i}$ con el origen.

La integral sobre C, acotando y haciendo tender a R a infinito llegué a que es 0, por tanto me queda
$\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{dx}{x^3+1}=\frac{\pi}3 (1+\sqrt3) - \int_L \frac{dz}{z^3+1}$.


Para esta integral $\displaystyle \int_L \frac{dz}{z^3+1}$ parametricé la curva como $\displaystyle c(t)=te^{\frac {2 \pi}3 i}; \ t \in (0,R)$
siendo $\displaystyle c'(t)=e^{\frac {2 \pi}3 i}$.

como $\displaystyle \int_c f(z)dz=\int_{t_0}^{t_f} f(c(t)) c'(t)dt$

Por tanto $\displaystyle \int_L \frac{dz}{z^3+1}= -\int_0^R \frac {e^{\frac {2 \pi}3 i}}{t^3e^{2 \pi i} +1} dt= -e^{\frac {2 \pi}3 i}\int_0^R \frac {dt}{t^3+1}$ (con el signo menos porque lo parametricé en el sentido contrario)
como R tiendea infinito $\displaystyle \int_L \frac{dz}{z^3+1}= -e^{\frac {2 \pi}3 i}\int_0^{\infty} \frac {dt}{t^3+1}$


Entonces me queda

$\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{dx}{x^3+1}=\frac{\pi}3 (1+\sqrt3) + e^{\frac {2 \pi}3 i}\int_0^{\infty} \frac {dt}{t^3+1}$

$\displaystyle I=\frac{\pi}3 (1+\sqrt3) + e^{\frac {2 \pi}3 i}I$

$\displaystyle I=\frac{\pi}3 \frac {(1+\sqrt3)}{(1- e^{\frac {2 \pi}3 i})}$

$\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{dx}{x^3+1}=\frac{\pi}3 \frac {(1+\sqrt3)}{(1- e^{\frac {2 \pi}3 i})}$

Reacomodando un poco $\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{dx}{x^3+1}=\frac{\pi}{18}(1+\sqrt3)(3+\sqrt 3)$



pero tengo entendido que este no es el resultado, quisiera saber que estoy haciendo mal y como lo debería hacer.

Muchas gracias de antemano

[Alriga]

Re: Integración por Residuos

Yo personalmente no puedo ayudarte, pues no conozco el método de Integración por Residuos, pero mirando en Internet he encontrado esto, mira a ver si te sirve:
Consider the contour integral of dz/ (1+z^3), where C is the contour
that (1) starts along the x-axis from 0 to R>1, (2) next, goes along a circular arc of radius R from the x-axis to an angle of 2pi/3, and (3) connects back to the origin with a line segment.

(Why the wedge contour? The integrand is not even, so that I can use an easier to manage classic semicirular one!)

So, int(along C) dz/ (1+z^3) =
int(x-axis 0 to R) + int(arc) + int(along line t = 2 pi/3).

(i) int(along C) dz/ (1+z^3): The integrand is analytic everywhere
in and on C except at the simple pole at z = e^(pi i/3).

At this singularity, the function has residue
lim(z->e^(pi i/3)) (z - e^(pi i/3))/ (1+z^3) =
lim(z->e^(pi i/3)) 1/(3z^2) = 1/(3 * e^(2pi i /3))

So, by the residue theorem, this integral has value 2 pi i * (residue) = 2 pi i /(3 * e^(2pi i /3)).

(2) int(x-axis 0 to R) = int( 0 to R) dx/ (1+x^3).

(3) As R--> infinity, direct limit compuations show that this int(arc) --> 0.

(4) Parameterise this line as z= -x e^(2pi i/3), x = 0 to R.
So, int(along line t = 2 pi/3)
= int(0 to R) dx/ (1+x^3)
= -e^(2pi i/3) * int(0 to R) dx/ (1+x^3)

In conclusion, as R--> infinity, we get

2 pi i/(3*e^(2pi i /3)) =
(1- e^(2pi i/3)) int(0 to infinity) dx/ (1+x^3).

int(0 to infinity) dx/ (1+x^3)
= 2 pi i/[3*e^(2pi i /3)* (1- e^(2pi i/3))]
= 2 pi i/[3*(e^(2pi i /3) - e^(4pi i/3))]
= 2 pi /[3* sqrt(3)].

Es todo lo que puedo hacer, ojalá te sirva, saludos

[danielandresbru]

Re: Integración por Residuos

Muchas gracias Alriga, perdoname por responderte tarde.
Mi error estaba en el comienzo, no se que me pasó pero puse que $\displaystyle \frac 13 e^{-i \frac 23 \pi} = - \frac i3 (1+\sqrt 3)$