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Propuesto: Calcular las últimas cifras de un número

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  • Olimpiada Propuesto: Calcular las últimas cifras de un número

    Hola compañeros, dejo aquí la modificación de un problema que me he encontrado en un libro con problemas tipo olimpiada, para quien esté practicando o para quien le apetezca divertirse resolviéndolo.

    Calcula las 500 últimas cifras del número

    ¡Suerte!
    [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

  • #2
    Re: Propuesto: Calcular las últimas cifras de un número

    Yo colaboro dando la ultima, les dejo las siguientes 499 a ustedes
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    1


    bonito problema angel pero no me le atrevo, segfuro que la cosa va por el lado de los Logaritmos
    Última edición por Richard R Richard; 27/07/2016, 04:01:58. Motivo: quote

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    • #3
      Re: Propuesto: Calcular las últimas cifras de un número

      Hola Richard, es correcta la última cifra. Quizá sería interesante que dijeses, aunque sea solo el 0.2% de la respuesta, cómo has llegado a ella. De paso dejo una pista, el problema no es nada trivial


      PISTA:
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      Encontrar las 500 últimas cifras equivale a encontrar el resto de la division por , o equivalentemente, encontrar tal que
      [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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      • #4
        Re: Propuesto: Calcular las últimas cifras de un número

        Hola angel
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        la solucion consiste en presentar la fórmula o un metodo algoritmico con la que la obtendría las 500 cifras , o es presentar las 500 cifras una detrás de la otra? ,

        había pensado contestar continuando el miniaporte , que lo que estamos buscando es lo que quedaba después de la coma luego de dividir efectivamente por 10^{500} Sabia que se podia usar Mod, pero como no supe como continuar, preferi no decirlo.

        La ultima cifra la obtengo por este planteo , el ultimo número de 2017 es un 7 cuando lo elevas a un exponente x hay una serie periódica que se repite en el ultimo numero por ej








        ......

        es decir la serie 1793 se repite como último número dando 1 cuando el exponente es divisible por 4

        como cualquier factorial de un numero mayor a 4 es divisible por 4 , el factorial de 2000 lo será y entonces cualquier número terminado en 7 elevado a esa potencia tendrá un 1 como ultima cifra.

        Saludos

        Última edición por Richard R Richard; 27/07/2016, 18:18:01. Motivo: latex depurado

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        • #5
          Re: Propuesto: Calcular las últimas cifras de un número

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          La clásica de estudiar el patrón, lástima que para más de 1 cifra no suele ser viable.
          No hay que dar algoritmo de cálculo hay que darlas todas, como tú dices, una detrás de otra. Obviamente no son totalmente aleatorias y siguen algún patrón para que sea cómodo de explicitar. En cualquier caso el problema no es tanto de siéntate y calcula, es más de intuir una solución y demostrar que en efecto lo es.

          -Añadido-

          Como el problema es muy complicado, voy a dar la solución de cómo calcular la siguiente cifra. Si se entiende debería ser fácil generalizarlo y sacar las 498 restantes, si no lo hace nadie dare la respuesta definitiva en un par de días. Primeramente dare una pista para quien quiera seguir pensándolo y esté atascado, y después escribo la solución particular para la penúltima cifra.

          PISTA:
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          Conviene conocer el teorema de Euler: Si son enteros primos relativos entonces . Obviamente hay que saber qué es la función de Euler y sus propiedades

          SOLUCIÓN (particular)
          -SPOILER ALERT-
          Ocultar contenido
          Para calcular la segunda cifra necesitamos conocer el resto de la division por 100. Tenemos que y claramente por lo que si llamo y teniendo en cuenta que es primo, entonces y por el teorema de Euler y por tanto al ser el resto de la division por 100 se deduce que las dos últimas cifras son 01
          Última edición por angel relativamente; 29/07/2016, 14:43:17.
          [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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          • #6
            Re: Propuesto: Calcular las últimas cifras de un número

            Dejo la solución definitiva. No obstante, quienquiera seguir intentándolo por su cuenta es libre de ignorar la solución y postear. Aunque voy a dejar la solución escueta y elegante, conviene leer la solución de cómo sacar la segunda cifra para imaginar cuál podría ser el razonamiento inductivo antes de sacarse la solución de la manga.

            -SOLUCIÓN DEFINITIVA-

            Ocultar contenido
            Vamos a probar que , que será equivalente a decir que las 500 últimas cifras son . En primer lugar observamos que . Es claro que (ya que en hay un producto de más de 1000 pares). Por otro lado en hay multiplicando múltiplos de , múltiplos de , múltiplos de y múltiplos de , por lo que es divisible por y como se tiene que . Sea . Podemos escribir y como 2017 es primo, y por el teorema de Euler se concluye que
            [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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            • #7
              Re: Propuesto: Calcular las últimas cifras de un número

              Hola angel ,

              Ocultar contenido
              me he perdido aquí, de movida nomás
              Escrito por angel relativamente Ver mensaje
              [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]



              Escrito por angel relativamente Ver mensaje

              .
              las últimas dos igualdades de cada cita no las comprendo, es decir los 3 primeros términos son iguales, perfecto y los dos últimos entre si perfecto, pero no entiendo(desconozco) la igualdad que une los 5, puedes brindarme algo de luz, alguna referencia a la operación matemática o propiedad.Gracias.


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              • #8
                Re: Propuesto: Calcular las últimas cifras de un número

                Hola Richard, entiendo que lo que no conoces bien es la función de Euler. Puedes buscar en la wiki que hay mucha información, pero dejo aquí lo básico: Si n es un natural, la función te da el número de coprimos menores o iguales que n. Por ejemplo ya que hay 4 coprimos con 10 menores o iguales que él (el 1, el 3, el 7 y el 9). Es facil ver que si p es primo entonces , que si m,n son coprimos entonces y por inducción de esto puedes ver que si p es primo . Con esas propiedades deberías entender los pasos que hago, aunque aun así sería interesante ver las aplicaciones de dicha función en aritmética (el teora de Euler que comento) y en teoría de grupos.
                Saludos,
                Última edición por angel relativamente; 02/08/2016, 11:55:05.
                [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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