Tensores

[Valeeen]

Buenas tardes,
Estoy leyendo algunas cosas sobre los tensores porque quería saber como se los definía de forma mas formal de lo que se lo suele tratar en los cursos básicos de física, y me encontre con algo que no estoy entendiendo muy bien, si me pueden echar una mano se los agradecería.
La cuestión es la siguiente, estaba viendo que si se definía a la delta de Kronecker como componentes de un vector covariante, contravariante o mixto, uno puede expresar para un conjunto de coordenadas $\theta^{i}$ las componentes como:
$g_{ij}=\frac{\partial x^{m}}{\partial \theta^{i}} \frac{\partial x^{n}}{\partial \theta^{j}} \delta_{mn} = \frac{\partial x^{m}}{\partial \theta^{i}}\frac{\partial x^{m}}{\partial \theta^{j}}$
$g^{ij}=\frac{\partial \theta^{i}}{\partial x^{m}} \frac{\partial \theta^{j}}{\partial x^{n}} \delta^{mn} = \frac{\partial \theta^{i}}{\partial x^{m}}\frac{\partial \theta^{j}}{\partial x^{m}}$
$g_{j}^{i} = \frac{\partial \theta^{i}}{\partial x^{m}} \frac{\partial x^{n}}{\partial \theta^{j}} \delta^{m}_{n} = \frac{\partial \theta^{i}}{\partial x^{m}} \frac{\partial x^{m}}{\partial \theta^{j}} =\delta_{j}^{i}$

No entiendo en primer lugar porque en la tercera ecuación solo queda $\delta_{j}^{i}$, lo que tenemos no es $\sum_{m=1}^{3} \frac{\partial \theta^{i}}{\partial x^{m}} \frac{\partial x^{m}}{\partial \theta^{j}}$ ?? y en tal caso eso no resultaría en $\sum_{m=1}^{3} \delta_{j}^{i} = 3\cdot \delta_{j}^{i}$ ?
Esta misma duda me surge con la siguiente igualdad:
$g_{im}g^{mj}=\delta^{j}_{i}$

Claramente hay algo que no entiendo.
Por otro lado tampoco estaría viendo como en el libro llega a que $g=|g_{ij}|=|\frac{\partial x^{i}}{\partial \theta^{j}}|^2$

Esto de estudiar por mi cuenta esta siendo un poco complicado (Adjunto fotos de las paginas del libro que estoy leyendo por si sirve de algo). Desde ya muchas gracias