Eigenfunctions and eigenvalues problemas

[alexpglez]

Re: Eigenfunctions and eingenvalues problemas

Sé que hago unas preguntas un poco tontas pero estoy aprendiendo, quería preguntarlo antes ¿Por qué es más complicado que integrar dos veces?

Yo también probé eso mismo en su momento (vaya, ya somos 3 xD).
La realidad es que no puedes integrar, ya que no conoces la función a integrar. Aunque no he escuchado mucho el tecnicismo, creo que $y= \iint y dxdx$ se llama ecuación integral o integro-diferencial ya que para resolverla tienes que aplicar la derivación y transformar la anterior ecuación en $y''=(\iint y dxdx)''=y$ y a partir de ahí identificar la ecuación diferencial para encontrar la solución.

Saludos

[Alriga]

Re: Eigenfunctions and eingenvalues problemas

... ¿Por qué es más complicado que integrar dos veces?

En la forma en la que se tiene la ecuación diferencial aparece la función incógnita y(x), y su derivada segunda

$\dfrac{d^2y(x)}{dx^2}=-k \ y(x)$

No la puedes resolver derivando porque no sabes cuál es la función que has de derivar 2 veces

Integremos 2 veces como propones

$\dfrac{d^2y(x)}{dx^2}dx=-k \ y(x)dx$

$\dst \dfrac{dy(x)}{dx}=\int -k \ y(x)dx+C_1$

$\dst dy(x)=\left [ \int -k \ y(x)dx \right ]dx+C_1 dx$

$\dst y(x)=\dst -k \iint y(x)dx \ dx+C_1 \ x+C_2$

Ajora tenemos una ecuación en la que aparece la función incógnita y(x), y su integración doble. Que tampoco se puede resolver, pues no sabemos qué función integrar.

Hemos cambiado derivar dos veces algo desconocido por integrar dos veces también algo desconocido, por lo tanto no hemos adelantado nada. Esto intenta ser con un poco más de detalle, lo que te ha explicado alexpglez en el post anterior.

Saludos.

[alexpglez]

Re: Eigenfunctions and eingenvalues problemas

Sobre aplicaciones en mecánica cuántica, prácticamente es fundamentar toda la mecánica cuántica.
En mecánica cuántica aparecen ED lineales homogéneas, tales que cualquier suma de soluciones es una solución. Hay otros hechos como que no podamos definir cantidades físicas (en el sentido newtoniano) a partir de otras, si no que las cantidades físicas las entendemos por medio de operadores. Según la idea de Schrödinger una función de onda vendría representado por sumas de la función $A_p e^{i(px-Et)}$ con A_p una constante y p y E el momentum y energía de la partícula, si aplicamos el operador $\hat p =-i \frac {d}{dx}$ a la función anterior, obtenemos $\hat p A_p e^{ipx}=p A_p e^{ipx}$, entonces la anterior función parecería representar una partícula con momento definido p. Es por ello que combiene asentar la mecánica cuántica en las matemáticas de los espacios vectoriales complejos, viniendo representado el caso particular de un espacio vectorial de dimensión infinita por una función.

Pd: yo recuerdo que me uní al foro para preguntar coml se integraba:$\vec r=\vec r_0 + \vec v_0 t + \int_{t0}^t(\int_{t0}^t \frac {-GmM}{r^2}\hat r dt) dt$