2o ciclo Transformada de Fourier

[Zhisi]

Hola. Estoy realizando un desarrollo matemático de un problema de difracción a través de dos redes periódicas aplicando aproximación de Fresnel y tengo que gacer uso de trasformadas de Fourier. Debería saber usarlas sin problema, pero hace tiempo que lo estudié y lo tengo algo oxidado, a ver si me podéis echar una mano!

En el problema suponemos que la fuente es un emisor lambertiano, por lo que a una distancia $z_0$ viene dado por:

$\phi (x)=e^{ix^2\frac{k}{2z_0 }}$

y me dicen que su transformada de Fourier (obviando constantes multiplicativas) es:

$F\left[ \phi(x) \right]=\Phi(k_x)=e^{-ik^2_x\frac{z_0}{2k}}$

El problema es que aplico la definición de la TF pero no sé pasar de la integral y mucho menos llegar a ese resultado.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y ahora, además de que no sé cómo resolverla, no veo claro que me vaya a dar el resultado que he mostrado antes.

Gracias!

[Samir M.]

Re: Transformada de Fourier

Completa el cuadrado dentro de la exponencial, haz un cambio de variable y te quedará la integral gaussiana.

Saludos.

[Zhisi]

Re: Transformada de Fourier

Gracias Samir, no me había dado cuenta de que podía completar el cuadrado.

Sin embargo, acabo de percatarme de que hay una errata en mi expresión (corregida) y es que tengo dos $k$ diferentes en la exponencial: $k$ y $k_x$. la $k_x$ viene de la exponencial que se introduce al hacer la transformada de Fourier, donde además he hecho $\nu_x =k_x$.
Dde nuevo, no sé cómo hacer la integral.

Si alguien sabe indicarme el camino para resolver la integral o para realizar la transformada aplicando las propiedades de las mismas, se lo agradecería.

[Samir M.]

Re: Transformada de Fourier

El camino es el mismo aunque más engorroso. Completa el cuadrado dentro de la exponencial, haz un cambio de variable y te quedará una integral gaussiana.

Si no ves cómo completar al cuadrado de manera directa, define $\theta = \dfrac{k}{2 z_0}$ y completa $\theta x^2 - k_x x$

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Por si te quedas atascado:

Usando $\theta = \dfrac{k}{2 z_0}$ y que $\theta x^2-k_xx = \dfrac{(k_x - 2\theta x )^2-k_x^2}{4\theta}$ tenemos que:

$\begin{aligned}\displaystyle I &= \int_{-\infty}^\infty \exp\left({i\left(x^2\frac{k}{2z_0}-k_xx\right)}\right)dx = \int_{-\infty}^\infty \exp \left({i\left(\theta x^2-k_xx\right)}\right)dx \\ &= \exp{\left(\dfrac{-ik_x^2}{4\theta}\right)} \int_{-\infty}^\infty \exp\left({i\left(\dfrac{k_x-2\theta x}{2\sqrt{\theta}}\right)^2}\right)dx \end{aligned}$

Haciendo el cambio $u = \dfrac{k_x-2\theta x }{2 \sqrt{\theta}}$ entonces $du = -\dfrac{\theta}{\sqrt{\theta}} dx$ y la integral se reescribe como

$I = \displaystyle \exp{\left(\dfrac{-ik_x^2}{4\theta}\right)} \dfrac{\sqrt{\theta}}{\theta} \int_{-\infty}^\infty \exp(iu^2)du$

La anterior integral es evaluable mediante integración de contorno.

Saludos.

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Aunque bueno, no es necesario evaluar la integral si obvias constantes multiplicativas. De hecho, ya coincide con tu respuesta.

Saludos.

[Zhisi]

Re: Transformada de Fourier

Uou!! Muchas gracias.
Lo tenía ya a medio hacer, pero escribo desde el trabajo y hasta ahora no he podido responder. Lo repaso y te digo algo.

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Creo que tienes un error al completar el cuadrado en la ec.:

$\theta x^2-k_xx = \dfrac{(k_x - 2\theta x )^2-k_x^2}{4\theta}$

Desarrollando de nuevo el cuadrado obtengo:

$\theta x^2-\frac{k_xx}{2} = \dfrac{(k_x - 2\theta x )^2-k_x^2}{4\theta}$

No afecta al resultado salvo por ctes.

Por lo demás, creo que está bien y es el proceso de resolución que he seguido yo también.

[Samir M.]

Re: Transformada de Fourier

Mm yo no veo el error, a ver...

$\dfrac{(k_x - 2\theta x )^2-k_x^2}{4\theta} = \dfrac{k_x^2 + 4\theta^2x^2 - 4k_x \theta x - k_x^2}{4\theta} = \dfrac{4\theta^2x^2 - 4k_x\theta x}{4\theta} = \theta x^2 - k_x x$.

Llego a lo mismo.

Otra cosa, para tratar la integral sin análisis complejo es algo complicado. Primero tienes que demostrar su existencia y que converge condicionalmente. Después has de regularla por el método gaussiano o bien, usar el lema de Lebesgue-Riemann. Tu integral mola bastante desde el punto de vista del análisis real. No sé si te interesará este aspecto, pero si te surgen dudas respecto de ello ya sabes.

Saludos.

[Zhisi]

Re: Transformada de Fourier

Lo cierto es que va más allá de lo que necesito. Pero si te animas a poner algo al respecto, seguro que en un futuro a alguien le viene bien

Y gracias por la ayuda!