Otras carreras Flujo y circulación de un vector

[aly1nf0rm4tiCa]

[FONT=sans-serif]Hola,
tengo dificultades con estos ejercicios:

(1) Calcular el flujo del campo vectorial $\vec{A}=c\vec{r}$, [/FONT][FONT=sans-serif]a través del CUBO ([/FONT][FONT=sans-serif]c es una constante positiva y $\vec{r}$[/FONT][FONT=sans-serif]el vector de posición)

(2) Calcular el flujo del campo vectorial $\vec{H}={y}^{2}$[/FONT]$\hat{\jmath}$[FONT=sans-serif], a través del CILINDRO (tiene radio R, altura h, una de sus bases centrada en el origen de coordenadas y eje central OY)

Sé que hay que calcular en el caso del CUBO el flujo cara por cara y luego sumar los 6 resultados para determinar flujo total...y supongo que el cilindro será sumar el flujo de ambas cincunferencias (bases) y la superficie del rectángulo, que componen en su conjunto el cilindro, pero no se como empezar: no sé qué lados suman al flujo dependiendo de si el campo vectorial esta en un eje u otro, no sé que tendría que hacer con la constante c, etc...

Si alguien me puede guiar lo agradecería.
Un saludo

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[Al2000]

Re: Flujo y circulación de un vector

El primero no es trivial pero es sencillo, dado que cada una de las caras tiene su normal en un eje coordenado. Por ejemplo, el flujo a través de la cara frontal vale

$$\dst \Phi_{A,1} = \iint \vec A \cdot d \vec S = \iint c \vec r \cdot (dy \, dz \, \hat \imath ) = c \int_{2}^{4}\! \int_{0}^{5}\!\! \underbrace {x}_3 \, dy\, dz = 30 c$$

Lo mismo se repite para cada una de las otras 5 caras.

El segundo es trivial, pues el campo sólo tiene componentes en Y y sólo depende de Y, de modo que es constante en cada "tapa" del cilindro y no atraviesa la superficie lateral. El flujo será simplemente el valor del campo en la tapa derecha (en la tapa izquierda es nulo) multiplicado por el área de la tapa: $\Phi_H = (h^2 \, \hat \jmath ) \cdot (\pi R^2 \, \hat \jmath ) = \pi h^2 R^2$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$