1r ciclo Duda inducción

[CARLIN]

Hola, tenía el siguiente ejercicio de inducción:
Sumatorio n k=0 de (2k+1)^3 = (n+1)^3 . (2n^2 + 4n +1)
Bueno, primero sustituí n=0 y se cumple ...luego


Para n+1 o sea sumatorio (2k+1)^3 = (n+2)^3 . (2(n+1)^2 + 4.(n+1) +1)
Que sería (desarrollando un poco cada expresión)
sumatorio (2n+3)^3 = (n+1)^3 . (2n^2 + 4n +1) + (2n+3)^3
Ahora bien, no soy capaz,por mucho desarrollo que haga de demostrar que se cumple la expresión


Gracias!

[Breogan]

Re: Duda inducción

Hola:

Proba:

B.: $\dst n=0 \ \Rightarrow \ 1=1$

H. I.: $\dst \sum_{k=0}^{n} \ (2 k + 1)^3 = (n + 1)^3 \ (2 n^2 + 4 n + 1)$

D.: $\dst \sum_{k = 0}^{n+1} \ (2 k + 1)^3 = \underbrace{ \sum_{k=0}^{n} (2 k + 1)^3 }_{H.I.} + [2 (n + 1)+1]^3 = (n + 1)^3 \ (2 n^2 + 4 n + 1) + [2 (n + 1)+1]^3$$\dst = [(n + 1)+1]^3 \ [2 (n + 1)^2 + 4 ( n + 1) + 1 ]$

Igual me parece (si no me equivoque al interpretar el enunciado) que para n=1 ya no cumple.

s.e.u.o.

Suerte

[Alriga]

Re: Duda inducción

... Igual me parece (si no me equivoque al interpretar el enunciado) que para n=1 ya no cumple ...

En efecto Breogan, $\dst \sum_{k=0}^{n} \ (2 k + 1)^3 = (n + 1)^3 \ (2 n^2 + 4 n + 1)$ para $n=1$ ya no cumple,

$\dst \sum_{k=0}^{1} \ (2 k + 1)^3=(2 \cdot 0 + 1)^3+(2 \cdot 1+1)^3=28$

$(1 + 1)^3 \ (2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 1)=56 \neq 28$

Porque creo que CARLIN ha podido cometer un error de tecleo en el enunciado.

Supongo que el enunciado correcto podría ser:

Demostrar por inducción completa que:

$$\dst \sum_{k=0}^{n} \ (2 k + 1)^3 = (n + 1)^2 \ (2 n^2 + 4 n + 1)$$

Es decir, con el factor del segundo miembro $(n+1)^2$ , en vez de $(n+1)^3$ como dice el enunciado. Entonces sí es demostrable que la igualdad $(1)$ es cierta.

Saludos.