Otras carreras Demostar solución congruencia por Teorema de Wilson

[cristianoceli]

Hola he quedado atascado con esta demostración


Aplicando Teo. Wilson demostrar que las soluciones de $x^2+1\equiv{0}$ $(mod$ $p)$ con $p$
$primo$ de la forma $4m+1$ son $x\equiv{\pm{1\cdot{2}...2m}} (mod p)$


Lo que he hecho


Aplicando Teo Wilson


$(4m)!+1\equiv{0}$ $(mod$ $4m+1)$


- Finalmente nos enteresa analizar


$(4m)! \equiv{0}$ $(mod$ $4m+1)$
$4m\cdot{(4m-1)}\cdot{(4m-2)}\cdot{} ...\cdot{2m}\cdot{(2m-1)\cdot{(2m-2)}...\equiv{0}}$ $(mod$ $4m+1)$


- Entonces solo debo probar que:


$4m\cdot{(4m-1)}\cdot{(4m-2)} \cdot{} ... (2m+1) \equiv{2m\cdot{(2m-1)} \cdot{(2m-2)}}$ $(mod$ $4m+1)$ (2)


Pero de ahí en adelante no se me ocurre que mas hacer, como probar (2).


Nota


Al principio pense en aplicar un teorema que dice: El sistema reducido de restos respecto del modulo p consta de $\displaystyle\frac{p-1}{2}$ restos cuadráticos y $\displaystyle\frac{p-1}{2}$ restos no cuadráticos.


-Aplicando ese teorema $\displaystyle\frac{4m+1-1}{2} = 2m$ restos cuadraticos y $2m$ restos no cuadráticos, pero no se en que pueda servir.




De antemano muchas gracias.