1r ciclo Soluciones a la ecuación de Laplace en esféricas

[Lorentz]

Buenas a todos, querría saber si me podéis echar una mano con esto. Primero antes que nada comentaré un poco de qué va la cosa antes de llegar al punto clave. Teniendo en cuenta la ecuación de Laplace $\nabla^2u=0$ con $u=u(r,\theta,\varphi)$, empleamos el método de separación de variables escribiendo $u$ como $u=R(r)T(\theta)\Phi(\varphi)$ y desarrollando obtenemos tres EDO's distintas a partir de las cuáles obtenemos los valores de las funciones $R(r)$, $T(\theta)$ y $\Phi(\varphi)$ siendo estas soluciones:

$R(r)=Ar^l+\frac{B}{r^{l+1}}$

La solución general correspondiente a la colatitud ($\theta$) nos da las funciones asociadas de Legendre que renombraremos por convención a ${P_l}^m$[FONT=Verdana]:

[/FONT]${P_l}^m (t)=\left(1-t^2\right)^{\frac{m}{2}} \hspace{0,02 cm} \frac{d^m P_l(t)}{dt^m}$

Siendo $P_l (t)$los polinomios de Legendre.

La otra ecuación correspondiente a $\varphi$ tiene como solución algo del estilo:

$\Phi(\varphi)=a \cos(m\varphi)+b \sin(m\varphi)$

Para mayor completitud mencionar que $A, B, a, b$ son constantes reales (aquí tengo una pequeña disyuntiva porque supongo que habrá soluciones con constantes pertenecientes a los complejos pero no estoy seguro, además las que importan para este problema son las reales) y además [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $\cup \hspace{0,09 cm} \{0\}$[FONT=Verdana].

[/FONT]Mi problema/duda es el siguiente, al intentar poner la solución más general a esta EDP estoy tratando de hacerlo de la siguiente forma:

$u(r,\theta,\varphi)=\sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=1}^{l} \left(A_l r^l+\frac{B_l}{r^{l+1}}\right){P_l}^m (\cos\theta)$ $(a_{lm}\cos(m\varphi)+b_{lm}\sin(m\varphi))+\sum_{l=0}^{\infty} \left(A_l r^l+\frac{B_l}{r^{l+1}}\right)P_l(\cos\theta)$

Sé que cuando hay independencia con respecto a $\varphi$ (es decir $m=0$) la solución a la ecuación de Laplace es:

$u(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty} \left(A_l r^l+\frac{B_l}{r^{l+1}}\right)P_l(\cos\theta)$

Siendo esta una solucion de la cuál estoy seguro de su veracidad pues la he empleado en electromagnetismo incluso antes de saber resolver esta ecuación.

Mi problema viene al intentar introducir la solución "generalizada" (me refiero a cuando hay dependencia de con respecto a $\varphi$), porque veo una inconsistencia en el primer sumatorio al introducir como primer valor de $l$ el 0 ya que $l$ es el último valor del sumatorio sobre m y el primer valor de este corresponde a $m=1$ porque ya hemos tenido en cuenta el valor 0 en el segundo término de la parte derecha de la expresión (disculpad este lío de palabras, espero que entendáis a lo que me refiero).

¿Podríais decirme como arreglar esa inconsistencia o cuál es la solución general de esta EDP?

Un saludo

PD:He intentado buscarla en el Haberman y el Weinberger además de internet y lo he encontrado para casos ya concretos imponiendo ciertas condiciones de contorno, pero no he encontrado como sería esta expresión completamente general sin aplicar ninguna condición de contorno.

- - - Actualizado - - -

Creo que ya lo he solucionado, y por si alguien en algún momento tiene la misma duda que he tenido yo voy a poner aquí mis conclusiones. Por supuesto si alguien quiere hacerme rectificar o añadir algo se lo agradeceré.

Haciendo una investigación más exhaustiva por internet (lo cuál básicamente es haberlo hecho en inglés esta vez ) encontré que se mencionaba que la solución real general de la ecuación de Laplace es del tipo:

$u(r,\theta,\varphi)=\sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{l} \left(A_l r^l+\frac{B_l}{r^{l+1}}\right){P_l}^m (\cos\theta)$ $(a_{lm}\cos(m\varphi)+b_{lm}\sin(m\varphi))$

Siendo ${P_l}^m (t)=\left(-1 \right)^m \left(1-t^2\right)^{\frac{m}{2}} \hspace{0,02 cm} \frac{d^m P_l(t)}{dt^m}$ y $P_l (t)$ los polinomios de Legendre.
Esto es consistente con el hecho de que cuando hay independencia con respecto a $\varphi$ el único valor de $m$ que hay que emplear es $m=0$ y la constante $a_{l0}$ se agrupa con el resto de constantes obteniendo la ecuación que ya mencioné que se emplea en electrostática:

$u(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty} \left(A_l r^l+\frac{B_l}{r^{l+1}}\right)P_l(\cos\theta)$

Y esto es todo amigos.

Un saludo