1r ciclo Regla de la cadena (derivadas parciales)

[Enrique Ortiz Martinez]

Si $f$ es una función diferenciable de la variable $u$ ,considere $u=bx-ay$, y demuestre que $z=f(bx-ay)$ satisface la ecuación $a$ $\frac{\partial z }{\partial y }$ + $b$ $\frac{\partial z }{\partial y }$ $= 0$, donde a y b son constantes.

Lo que hice fue obtener la regla de la cadena y quedo es esta manera:

$\frac{\partial z}{\partial x }$ = $\frac{\partial z}{\partial u }$ $\frac{\partial u }{\partial x}$


$\frac{\partial z}{\partial y }$ = $\frac{\partial z}{\partial u }$ $\frac{\partial u }{\partial y }$


Saco la derivada parcial:


$\frac{\partial u }{\partial x }$ $=$ $b$

$\frac{\partial u }{\partial y }$ $=$ $- a$


Hasta aquí solamente he llegado, nose como llegar a la ecuación que me piden, o también puede ser que estoy haciendo la regla de la cadena mal, de antemano gracias

[Alriga]

Re: Regla de la cadena (derivadas parciales)

Donde has escrito:

$a \dfrac{\partial z}{\partial y}+b \dfrac{\partial z}{\partial y}=0$

Supongo que querías escribir:

$a \dfrac{\partial z}{\partial x}+b \dfrac{\partial z}{\partial y}=0$

Si es así:

$z=z(u)$

$u=bx-ay$

$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u} \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u} \cdot b$

$\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial u} \dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial u} \cdot (-a)$

$a \dfrac{\partial z}{\partial x}=a \cdot \dfrac{\partial z}{\partial u} \cdot b=a \cdot b \cdot \dfrac{\partial z}{\partial u}$

$b \dfrac{\partial z}{\partial y}=b \cdot \dfrac{\partial z}{\partial u} \cdot (-a)= - a \cdot b \cdot \dfrac{\partial z}{\partial u}$

$a \dfrac{\partial z}{\partial x}+b \dfrac{\partial z}{\partial y}=a \cdot b \cdot \dfrac{\partial z}{\partial u}- a \cdot b \cdot \dfrac{\partial z}{\partial u}=0$

Saludos.

[Enrique Ortiz Martinez]

Re: Regla de la cadena (derivadas parciales)

gracias , no había notado el error, pero si tienes razón, así como lo has escrito es de la forma correcta

[The Higgs Particle]

Re: Regla de la cadena (derivadas parciales)

$z=z(u)$

$u=bx-ay$

$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u} \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u} \cdot b$

$\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial u} \dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial u} \cdot (-a)$

Creo que para evitar los errores de nombres como el ejercicio que subí yo, sería mejor poner:

$u=u(x,y)=bx-ay; f=f(u) \to z = f o g$

Por lo que:

$\dst \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$

$\dst \frac{\partial z}{\partial y} = \dst \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \dst \frac{\partial u}{\partial y}$

Todo lo demás es igual.

¿Cómo lo ves, Alriga? ¿Me he columpiado?

[Alriga]

Re: Regla de la cadena (derivadas parciales)

Creo que para evitar los errores de nombres como el ejercicio que subí yo, sería mejor poner:

$u=u(x,y)=bx-ay; f=f(u) \to z = f \circ g$

En todo caso supongo que sería $u=u(x,y)=bx-ay; f=f(u) \to z = f \circ u$

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Regla de la cadena (derivadas parciales)

Los ejemplos mas claros de funciones de este tipos son las ondas sinusoidales

$z=A\cos(kx-\omega t)$

$u(x,t)=kx-\omega t$

$z(u)=A\cos(u)$

$\dfrac{\partial z(u)}{\partial u}=-A\sin (u)$

$\dfrac{\partial u(x,t)}{\partial t}=k$

$\dfrac{\partial u(x,t)}{\partial k}=-\omega$

$\dfrac{\partial z(u)}{\partial x}=\dfrac{\partial z(u)}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}=-A\sin (u) k$

$\dfrac{\partial z(u)}{\partial t}=\dfrac{\partial z(u)}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial t}=-A\sin (u) (-\omega)$

al probar

$\omega \dfrac{\partial z}{\partial x}+k \dfrac{\partial z}{\partial t}=\omega(-A\sin (u) k)+k(-A\sin (u)) (-\omega)=A\sin (u)(-\omega k+\omega k)=A\sin (u)0=0$ $\therefore CQD$