1r ciclo Derivadas parciales (regla de la cadena)

[Enrique Ortiz Martinez]

Si $u,v,x$ y $y$ estan relacionadas por las ecuaciones:

$xyu -$ $y{v}^{2 }$ $+$ ${x}^{2 }$ = 0, $4{u}^{2 }$ $+ 2{v}^{ 2}$$- {x}^{3 }$$y$ =0

Encuentrese

a) $\frac{\partial u }{\partial x }$, $\frac{\partial u }{\partial y }$, $\frac{\partial v }{\partial x }$ y $\frac{\partial v }{\partial y }$

b) $\frac{\partial x }{\partial u }$, $\frac{\partial x }{\partial v }$, $\frac{\partial y }{\partial u }$ y $\frac{\partial y }{\partial v }$

[FONT=verdana]Me pueden ayudar a plantear este problema, estoy viendo el tema de la regla de la cadena pero nose como resolver este problema, de antemano gracias[/FONT]

[Alriga]

Re: Derivadas parciales (regla de la cadena)

Tenemos 2 ecuaciones y 4 variables: u, v, x, y. Podemos elegir 2 variables como independientes, elegimos x, y

$v^2=\dfrac{xyu+x^2}y$

$v^2=\dfrac{x^3y-4u^2}2$

Igualando los segundos miembros:

$$4yu^2+2xyu+2x^2-x^3y^2=0$$

$2xy \dfrac{\partial u}{\partial x}+8yu \dfrac{\partial u}{\partial x}+4x-3x^2y^2=0$

$$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{3x^2y^2-4x}{2xy+8yu}$$

Si en (2) se desease eliminar la "u", aunque no te lo aconsejo pues es un "carro" de cuidado, habría que sustituir la "u" despejada de (1), que sale:

$u=\dfrac{-2xy \pm \sqrt{4x^2y^2-16 y (2x^2-x^3y^2)}}{8y}$

El resto de derivadas parciales, con paciencia, se van haciendo de forma similar.

Saludos