1r ciclo Extremos de una función mediante Multiplicadores de Lagrange

[Enrique Ortiz Martinez]

[FONT=verdana]Encuentre los valores extremos de $f(x,y,z)$ $=$ $y+xz$ $-2{x}^{ 2}$ $-{y}^{2 }$ $-{z}^{2 }$, [/FONT][FONT=verdana]sujeta[/FONT]
[FONT=verdana]a la restricción:
[/FONT]

[FONT=verdana]$z = 35 - x - y$

[/FONT]

[FONT=verdana]

$z = 35 - x - y$ [/FONT]$\to$[FONT=verdana] $x + y + z = 35$

[/FONT]$\nabla$[FONT=verdana]$f=$ $(z-4x,1-2y,x-2z)$
[/FONT][FONT=verdana]

[/FONT]$\nabla$[FONT=verdana]$g=$ $(1,1,1)$


[/FONT]$\nabla$[FONT=verdana]$f=$ [/FONT]$\lambda$$\nabla$[FONT=verdana]$g$


[/FONT][FONT=verdana]1) $z-4x=$ [/FONT]$\lambda$

[FONT=verdana]2) $1-2y=$ [/FONT]$\lambda$

[FONT=verdana]3) $x-2z=$ [/FONT]$\lambda$
[FONT=verdana]
4)[/FONT][FONT=verdana] $x + y + z = 35$


Igualando 1 y 3

[/FONT][FONT=verdana]$z-4x=$ [/FONT][FONT=verdana]$x-2z$


$x=$ $\frac{3}{ 5}$$z$


[/FONT][FONT=verdana]pero ya no se que hacer hasta este punto, no puedo sustituir todavía en mi restricción, y no se que hacer con en punto 2, de antemano gracias amigos[/FONT][FONT=verdana]

[/FONT]

[Alriga]

Encuentre los valores extremos de $f(x,y,z)$ $=$ $y+xz$ $-2{x}^{ 2}$ $-{y}^{2 }$ $-{z}^{2 }$, sujeta a la restricción:

$z = 35 - x - y$

Re: Extremos de una función mediante Multiplicadores de Lagrange

Tengo el tema muy olvidado, pero creo que se hacía así:

$f(x,y,z)=y+xz-2x^2-y^2-z^2$

$g(x,y,z)=35-x-y-z$

Se define la función L como:

$L=f+\lambda g$

$L=y+xz-2x^2-y^2-z^2+\lambda (35-x-y-z)$

Y se establece el sistema de ecuaciones:

$\dfrac{\partial L}{\partial x}=0$

$$z-4x-\lambda=0$$

$\dfrac{\partial L}{\partial y}=0$

$$1-2y-\lambda=0$$

$\dfrac{\partial L}{\partial z}=0$

$$x-2z-\lambda=0$$

$\dfrac{\partial L}{\partial \lambda}=0$

$$35-x-y-z=0$$

Y ahora hay que resolver el sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas: x, y, z, $\lambda$ . Despejando $\lambda$ en las 3 primeras y eliminándolo queda:

$z-4x=1-2y$

$x-2z=1-2y$

$x+y+z=35$

Operando

$$-4x+2y+z=1$$

$$x+2y-2z=1$$

$$x+y+z=35$$

Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas muy fácil de resolver que da x=9 y=11 z=15 ($\lambda=-21$)

Saludos.