Otras carreras Problema de induccion matematica

[Sir Isaac]

Buenas, escribia porque tengo una duda a la hora de resolver ejercicios del tipo: Demostrar que para todo numero natural n, f(x) es divisible por m

Un ejemplo seria el siguiente:

2³ⁿ-1 es divisible por 7

Y el problema viene que no se como resolverlo
Muchas gracias de antemano

[Jaime Rudas]

Re: Problema de induccion matematica

Demostrar que para todo numero natural n, f(x) es divisible por m

Un ejemplo seria el siguiente:

2³ⁿ-1 es divisible por 7

Puedes resolverlo siguiendo este esquema:
1) Demuestra que, cuando n=1, resulta un múltiplo de 7.
2) Trata de demostrar que, si para el entero n se cumple que 2³ⁿ-1 es divisible por 7, entonces necesariamente también se cumple para el consecutivo de n, o sea, para n+1

Lo anterior significa que si se cumple para n=1, también se cumplirá para n=2, y si se cumple para n=2, entonces también se cumple para n=3 y así sucesivamente hasta llegar a cualquier entero positivo, lo que demuestraría que para todos los enteros positivos la expresión 2³ⁿ-1 es divisible por 7 (en cuanto a los negativos, si x es múltiplo de y, -x también lo será).

Ahora bien, si n=1, entonces 2³ⁿ-1 = 2³-1 = 8-1 = 7, que evidentemente es múltiplo de 7, con lo que queda demostrado el punto (1).

Para demostrar el punto (2), debes demostrar que si 2³ⁿ-1 es divisible por 7 (o sea, si 2³ⁿ-1=7s), entonces 2³⁽ⁿ⁺¹⁾-1 también lo será (o sea, 2³⁽ⁿ⁺¹⁾-1=7t).

Pista: a la expresión 2³⁽ⁿ⁺¹⁾-1 súmale y réstale 7.