Secundaria Límite

[alejandrito29]

$\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0} \dfrac{\exp(-A/t)}{t^{n/2}}$ con A>0


traté usando $u=1/t^{n/2}$ pero no llego al resultado, saludos.

[Alriga]

Re: Límite

Cambio de variable

$\dfrac 1 t=x$

$L=\dst \lim_{t \rightarrow 0^+} \dfrac{\exp(-A/t)}{t^{n/2}}=\lim_{x \rightarrow +\infty} x^{n/2}\exp(-A x)$

$\dst L=\lim_{x \rightarrow +\infty} \exp \left (\dfrac n 2 \ln x \right ) \cdot \exp(-A x)$

$\dst L=\lim_{x \rightarrow +\infty} \exp \left (-A x +\dfrac n 2 \ln x \right )$

Veamos el límite del exponente:

$\dst l=\lim_{x \rightarrow +\infty} \left ( -A x +\dfrac n 2 \ln x \right )$

Tenemos la diferencia entre una función potencial "A·x" y una función logarítmica "k·ln x". Debido a la jerarquía de la comparación de infinitos sabemos que el infinito de la función potencial es de orden superior al infinito de de la función logarítmica:

$\dst l=\lim_{x \rightarrow +\infty} \left ( -A x +\dfrac n 2 \ln x \right )=-\infty_{pot} + \infty_{log}=-\infty$

Por lo tanto:

$\dst L=\lim_{x \rightarrow +\infty} \exp \left (-A x +\dfrac n 2 \ln x \right )= \exp (-\infty)=0$

$\boxed{\dst \lim_{t \rightarrow 0^+} \dfrac{\exp(-A/t)}{t^{n/2}}=0}$

Saludos.

PD. Este resultado es correcto para el límite por la derecha, como se aclara en el post #6

[carmelo]

Re: Límite

Una precisión. si n es impar se tiene que solo existe el límite por derecha y vale 0. Si n es impar el límite por izquierda vale $+\infty$ y por derecha vale 0.

Saludos
Carmelo

[Alriga]

Re: Límite

… Una precisión. Si n es impar se tiene que solo existe el límite por derecha y vale 0

OK, buena precisión carmelo

… Si n es impar par, el límite por izquierda vale $+\infty$ y por derecha vale 0

Aquí se te había colado un "typo". Precisando más aún:

* Si $n \in \mathbb{N}$ es cero o par con $n \neq 2$ el límite por la izquierda vale $+\infty$ y por la derecha vale 0 como bien dice carmelo: No siempre, ver post #6

* Y si $n=2$ el límite por la izquierda vale $-\infty$ y por la derecha vale 0

Saludos.

[carmelo]

Re: Límite

OK, buena precisión carmelo

* Y si $n=2$ el límite por la izquierda vale $-\infty$ y por la derecha vale 0

Saludos.

Tienes razon. También vale $-\infty$ cuando n es de la forma $4k+2$ siendo $k = 0,1,2,...$

Saludos
Carmelo

[Alriga]

Re: Límite

... También vale $-\infty$ cuando n es de la forma $4k+2$ siendo $k = 0,1,2,...$

Pues sí, parece que estemos dando la respuesta en cómodos plazos,…

Resumiendo:

1) El limite por la derecha es cero siempre, como se demuestra en #2

2) Si $n \in \mathbb{N}$ es impar no hay límite por la izquierda, ya que la función no está definida.

3) Si n es par múltiplo de 4, ($n=4 k$ con k = 0, 1, 2, 3, …) el límite por la derecha es $+\infty$

3) Si n es par pero no es múltiplo de 4, ($n=4 k+2$ con k = 0, 1, 2, 3, …) el límite por la derecha es $-\infty$

Saludos.

[carmelo]

Re: Límite