Secundaria Sistemas de ecuaciones

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Hola, quería saber si dado un sistema de ecuaciones en el cual se tiene la misma cantidad de incógnitas que de ecuaciones entonces se puede resolver este?. Y si es así, hay alguna explicación o teorema que lo verifique?
Gracias.

[angel relativamente]

Re: Sistemas de ecuaciones

Hola. Supongo que hablas de un sistema de ecuaciones lineales, y no de un sistema de ecuaciones en general. Si fuese de este último, obviamente no se puede decir nada ya que muchas ecuaciones no tienen por qué tener solución analítica.
Si te refieres a ecuaciones lineales, la clasificación se suele hacer en 3 tipos: Los incompatibles (SI) que no tienen solución, los compatibles indeterminados (SCI) que tienen infinitas soluciones y los compatibles determinados (SCD) que tienen solución única. Esta clasificación vale independientemente del número de ecuaciones y de incógnitas. En particular, si tienes la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas, puede seguir siendo cualquiera de estos 3 tipos. Te pongo 3 ejemplos:
$\left.<br /> \begin{aligned}<br /> x+y & = 1 \\<br /> 2x + y & = 2<br /> \end{aligned}<br /> \right\} \left.<br /> \begin{aligned}<br /> x+y & = 1 \\<br /> x + y & = 2<br /> \end{aligned}<br /> \right\}\left.<br /> \begin{aligned}<br /> x+y & = 1 \\<br /> 2x + 2y & = 2<br /> \end{aligned}<br /> \right\}$

que son respectivamente SCD de solución x=1, y=0, SI (sin solución) y SCI, cuyas infinitas soluciones son $x=a, y=1-a$ para cualquier $a\in \mathbb{R}$.

Siempre hay un algoritmo para clasificar y dar la solución (o no, en caso de que no tenga) de cualquier sistema de ecuaciones lineales. Si tienes interés, busca el método de Gauss-Jordan.

Saludos,