1r ciclo Función cosenoidal de período variable.

[Zhisi]

Hola a todos!

Necesito usar una función coseno de período variable en un programa que estoy haciendo en Python. La idea es partir de la función $cos{(\frac{2\pi}{p}x)}$ pero hacer que el período dependa de $x$, por ejemplo $p(x)=p_0+ax$. Así, dado un período inicial tendremos una función coseno que varía su período conforme avanzamos en x.
En mi caso concreto conozco los períodos inicial y final y la longitud que vamos a recorrer en $x$:

$p_0=10; p_f=5; x_0=0; x_f=2500$

Con esto calculo el valor de $a$ siendo $a=-0.002$.

Con todo ello, mi ecuación queda del siguiente modo:

$\cos{(\frac{2\pi}{10-0.002x}x)}$


Si yo ahora lo represento, tengo una figura coseinodal en la que varía el período de forma pregresiva conforme avanzo en $x$. Si yo mido el período sobre la gráfica, al principio el período es $p\approx 10$ pero al final es$p\approx 2.5$. Sin embargo si yo calculo el período en torno a los últimos valores de $x$ tengo que:

$p(x_f=2500)=10-0.002*2500=5$

No entiendo por qué sucede esto. Si mi valor de $p_f=5$ ¿cómo puede ser que tenga aproximadamente la mitad de período al representarlo? Supongo que hay algún fenómeno relacionado con la variación del período, algún tipo de batido o algo similar, pero no acabo de comprenderlo. ¿Alguna idea?


PD: ¿Cómo se pone el salto de línea en LATEX?

[Alriga]

Re: Función cosenoidal de período variable.

El desarrollo en Serie de Taylor en x=2500 del argumento del coseno, (mediante Matlab por ejemplo), sale:

$\dfrac{2 \pi x}{10-0.002 x}=3141.59+2.51327(x-2500)+0.00100531(x-2500)^2+ \dots$

Despreciando términos de 2º grado y superiores

$\dfrac{2 \pi x}{10-0.002 x} \approx 2.51327 x-3141.59$

$\cos \Big (\dfrac{2 \pi x}{10-0.002 x}\Big ) \approx \cos(2.51327 x-3141.59)$

El valor de $3141.59$ es un simple desfase y el período de la cosenoide

$\cos(2.51327 x-3141.59)$ es

$\dfrac{2 \pi}T=2.51327$

$T=2.500004 \approx 2.5$

Por eso en un entorno cercano a x=2500 obtienes que el período es 2.5 ya que en un entorno de x=2500 una buena aproximación de tu función es:

función = $\cos \Big (\dfrac{2 \pi x}{10-0.002 x}\Big ) \approx \cos \Big (\dfrac{2\pi}{2.5}x-3141.59\Big )$ = Taylor

Esta es la gráfica de la función cerca de x=2500



Por tanteo he encontrado que una función que se ajusta bastante a tus necesidades, (T=5 en un entorno de x=2500) sería

$$\boxed{f(x)=\cos \Big (\dfrac{2 \pi \ x}{10-0.0011716 \ x}\Big )}$$

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Función cosenoidal de período variable.

$p(x_f=5000)=10-0.002*2500=5$

No entiendo por qué sucede esto. Si mi valor de $p_f=5$

A ver $p(x_f=2500)=10-0.002*2500=5$

pero

$p(x_f=5000)=10-0.002*\mathbf{5000}=10 -10 =\mathbf{0}$

[Zhisi]

Re: Función cosenoidal de período variable.

El desarrollo en Serie de Taylor en x=2500 del argumento del coseno, (mediante Matlab por ejemplo), sale:

$\dfrac{2 \pi x}{10-0.002 x}=3141.59+2.51327(x-2500)+0.00100531(x-2500)^2+ \dots$

Despreciando términos de 2º grado y superiores

$\dfrac{2 \pi x}{10-0.002 x} \approx 2.51327 x+641.59$

$\cos \Big (\dfrac{2 \pi x}{10-0.002 x}\Big ) \approx \cos(2.51327 x+641.59)$

El valor de $641.59$ es un simple desfase y el período de la cosenoide

$\cos(2.51327 x+641.59)$ es

$\dfrac{2 \pi}T=2.51327$

$T=2.500004 \approx 2.5$

Por eso en un entorno cercano a x=2500 obtienes que el período es 2.5 ya que en un entorno de x=2500 una buena aproximación de tu función es:

función = $\cos \Big (\dfrac{2 \pi x}{10-0.002 x}\Big ) \approx \cos \Big (\dfrac{2\pi}{2.5}x+641.59\Big )$ = Taylor


Por tanteo he encontrado que una función que se ajusta bastante a tus necesidades, (T=5 en un entorno de x=2500) sería

$$\boxed{f(x)=\cos \Big (\dfrac{2 \pi \ x}{10-0.0011716 \ x}\Big )}$$

Saludos.

Perdón pero estoy un poco oxidado y no logro ver cómo tras despreciar términos de segundo orden y superior obtienes la expresión $\dfrac{2 \pi x}{10-0.002 x} \approx 2.51327 x+641.59$.

El resto del análisis lo entiendo, pero lo que no acabo de comprender es por qué si yo evalúo la ecuación original (y exacta) en $x=2500$ obtengo $T=5$, pero si hago una aproximación obtengo $T\approx 2.5$ que coincide con lo que después vemos en la representación gráfica.

A ver $p(x_f=2500)=10-0.002*2500=5$

pero

$p(x_f=5000)=10-0.002*\mathbf{5000}=10 -10 =\mathbf{0}$

Perdón, es una errata. En realidad es $x_f=2500$.



Gracias a los dos!!

[Alriga]

Re: Función cosenoidal de período variable.

Perdón pero estoy un poco oxidado y no logro ver cómo tras despreciar términos de segundo orden y superior obtienes la expresión $\dfrac{2 \pi x}{10-0.002 x} \approx 2.51327 x+641.59$

$\dfrac{2 \pi x}{10-0.002 x}=3141.59+2.51327(x-2500)+0.00100531(x-2500)^2+ \dots$

$\approx 3141.59+2.51327(x-2500)=3141.59+2.51327x-2.51327\cdot 2500)$

$=2.51327 x-3141.59$

no acabo de comprender es por qué si yo evalúo la ecuación original (y exacta) en $x=2500$ obtengo $T=5$, pero si hago una aproximación obtengo $T\approx 2.5$ que coincide con lo que después vemos en la representación gráfica ...

Tú CONJETURAS que la función

$\cos \Big (\dfrac{2 \pi x}{10-0.002 x}\Big )$

Se puede aproximar en un entorno de x=2500 por

$\cos \Big (\dfrac{2\pi}{T}x+\phi \Big )$ con $T=5$

Pero eso es un conjetura que debes demostrar. La manera que se me ocurrió de intentar demostrarlo es mediante Taylor, que nos dice que sí podemos aproximar en un entorno de x=2500 la función original por una expresión de la forma

$\cos \Big (\dfrac{2\pi}{T}x+\phi \Big )$

Pero solo si $T=2.5$ y $\phi=-3141.59$

$\cos \Big (\dfrac{2 \pi x}{10-0.002 x}\Big ) \approx \cos(2.51327x-3141.59)=\cos \Big (\dfrac{2\pi}{2.5} x-3141.59\Big )$

Saludos.

[Zhisi]

Re: Función cosenoidal de período variable.

$\dfrac{2 \pi x}{10-0.002 x}=3141.59+2.51327(x-2500)+0.00100531(x-2500)^2+ \dots$

$\approx 3141.59+2.51327(x-2500)=3141.59+2.51327x-2.51327\cdot 2500)$

$=2.51327 x+641.59$



Tú CONJETURAS que la función

$\cos \Big (\dfrac{2 \pi x}{10-0.002 x}\Big )$

Se puede aproximar en un entorno de x=2500 por

$\cos \Big (\dfrac{2\pi}{T}x+\phi \Big )$ con $T=5$

Pero eso es un conjetura que debes demostrar. La manera que se me ocurrió de intentar demostrarlo es mediante Taylor, que nos dice que sí podemos aproximar en un entorno de x=2500 la función original por una expresión de la forma

$\cos \Big (\dfrac{2\pi}{T}x+\phi \Big )$

Pero solo si $T=2.5$ y $\phi=641.59$

$\cos \Big (\dfrac{2 \pi x}{10-0.002 x}\Big ) \approx \cos(2.51327x+641.59)=\cos \Big (\dfrac{2\pi}{2.5} x+641.59\Big )$

Saludos.

No veo cómo puede darse esta igualdad $641.59=3141.59-2.51327\cdot 2500$ siendo que $3141.59-2.51327\cdot 2500=3141.59-6283.175=3141.585$. En cualquier caso es una fase que no tiene mayor importancia.

Respecto a la conjetura. No conjeturo, evalúo la función $\cos \Big (\dfrac{2 \pi x}{10-0.002 x}\Big )$ en un punto donde está definida y después lo comparo con una función de referencia (o equivalente) donde llamo $T$ a todo lo que no sea$2\pi$. No veo el problema en mi planteamiento (lo cual no significa que no lo haya jeje).

¿Quizá mi error reside en haber obviado la fase al hacer esa equivalencia? Es decir, que yo estoy haciendo $\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi x}{10-0.002x}$ cuando debería hacer $\frac{2\pi}{T}+\phi =\frac{2\pi x}{10-0.002x}$ y en este caso no es tan sencillo como decir a qué equivale $T$. ¿Puede ser?

Me resulta muy interesante esta cuestión. Nunca me había planteado que algo así pudiera suceder con un argumento de un coseno.



Edit:

Me surje otra cuestión. En mi problema yo parto de la función $\cos(\frac{2\pi x}{T}+\phi)$. Pero yo quiero que el período sea variable y dependa de $x$ y que la fase sea cero obteniendo $\cos(\frac{2\pi x}{T(x)})$. ¿Qué hay de erróneo en este planteamiento? ¿Por qué no puedo definir la función $T(x)$ como quiera?

[Alriga]

Re: Función cosenoidal de período variable.

No veo cómo puede darse esta igualdad $641.59=3141.59-2.51327\cdot 2500$ siendo que $3141.59-2.51327\cdot 2500=3141.59-6283.175=3141.585$

Cierto, calculé mal ya lo he corregido en el post, pero el error que había cometido en la fase es menor.

Si utilizas

$f(x)=\cos \Big (\dfrac{2 \pi \ x}{10-0.0011716 \ x}\Big )$

Solventa el problema, ya que aproximación de Taylor del argumento del coseno es:

$2221.46 + 1.25666 (x - 2500)+\dots$

Cuyo periodo en un entorno de x=2500 es T=5

Saludos.

[Zhisi]

Re: Función cosenoidal de período variable.

Cierto, calculé mal ya lo he corregido en el post, pero el error que había cometido en la fase es menor.

Si utilizas

$f(x)=\cos \Big (\dfrac{2 \pi \ x}{10-0.0011716 \ x}\Big )$

Solventa el problema, ya que aproximación de Taylor del argumento del coseno es:

$2221.46 + 1.25666 (x - 2500)+\dots$

Cuyo periodo en un entorno de x=2500 es T=5

Saludos.

Sí, con el tanteo que has hecho puedo hacerlo para $T=5$. Pero busco comprender dónde está el error de mi planteamiento porque me gustaría poder generalizarlo para otros períodos y longitudes y así poder implementarlo en código para hacer un programa.


En cualquier caso gracias!

[Alriga]

Re: Función cosenoidal de período variable.

... Sí, con el tanteo que has hecho puedo hacerlo para $T=5$. Pero busco ... poder generalizarlo para otros períodos y longitudes y así poder implementarlo en código para hacer un programa ...

Pues no sé, ¿tal vez vía Transformada de Fourier? Pero ahí poco puedo ayudarte, ya que mi formación en ese ámbito fue escasa y lo poco que supe ya no lo recuerdo.
Saludos y suerte