1r ciclo Equivalencia entre dos enunciados

[Visitante]

Buenas,
Me gustaría preguntaros si la afirmación “Existe un número M > 0 tal que todo numero natural n>M, no es un número primo" es equivalente a "Existe un número M>0 tal que todo número natural primo n es menor o igual que M"
Gracias
¿Ambas son negaciones de la afirmación “Para todo número real M > 0 existe un número natural n>M que es un número primo”?

[adanada]

Re: Equivalencia entre dos enunciados

mmm hasta dónde yo puedo ver ambas afirmaciones son equivalentes. y ambas son negaciones de la tercera.
pero ten en cuenta q las demostraciones por absurdo son un atajo que no todos los matemáticos consideran válido.

[Alriga]

Re: Equivalencia entre dos enunciados

... pero ten en cuenta q las demostraciones por absurdo son un atajo que no todos los matemáticos consideran válido ...

Tal vez sea mi problema porque no la entiendo, pero a mí lo que me parece absurda es esta frase. ¿A qué te estás refiriendo?
Saludos.

[Visitante]

Re: Equivalencia entre dos enunciados

A mi me parece que si son equivalentes, en ambas estas preguntando si los números primos son una serie infinita o si por el contrario existe algún numero que sirva de cota máxima a partir de la cual no podrás encontrar más números primos.

Ya se demostró por reducción al absurdo que los números primos nunca terminan, cualquiera que sea la cota máxima que elijas, o la cantidad de números primos que tengas en una lista, siempre puedes demostrar que tu lista no está completa y que te falta por enumerar o listar a algún número primo más grande de los que ya tienes.

Saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Equivalencia entre dos enunciados

Tal vez sea mi problema porque no la entiendo, pero a mí lo que me parece absurda es esta frase. ¿A qué te estás refiriendo? .

Supongo que se refiere al constructivismo que no acepta el principio del tercero excluido y, por tanto, tampoco su consecuencia: la reducción al absurdo.

[adanada]

Re: Equivalencia entre dos enunciados

Tal vez sea mi problema porque no la entiendo, pero a mí lo que me parece absurda es esta frase. ¿A qué te estás refiriendo?
Saludos.

imagino q wikipedia y alriga tienen razón.

pero yo eso lo tenía entendido por la paradoja de rusell https://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Russell
con ella apraerce una contradicción en la teoría de conjuntos cuanto tomas en cuenta la existencia de conjuntos de "conjuntos de una clase"
(no se cómo expresarlo formalmente). (mmm, perdón, creo q simplemente no sé expresarlo) como sería el cojunto de todas las herramientas de la matemática, o el conjunto de todos los conjuntos.
y si no me equivoco para validar las reducciones por absurdo se usan conjuntos de este tipo.

en mi país (uruguay) en ingeniería se usa sin problemas, pero en ciencias no te permiten usarlo

[alexpglez]

Re: Equivalencia entre dos enunciados

“Existe un número M > 0 tal que todo numero natural n>M, no es un número primo"

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

"Existe un número M>0 tal que todo número natural primo n es menor o igual que M"

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

“Para todo número real M > 0 existe un número natural n>M que es un número primo”

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Es claro que la proposición 3 se construye negando 1. Para negar una proposición hay que "cambiar" los "existe" por "para todo" y negar la proposición al final de la cadena de cuantificadores ("existe" y "para todo"). Si tienes alguna duda sobre como negar una proposición te puedo explicar.
Para ver que 1 equivale a 2 hay que suponer 1 y llegar a 2 y viceversa: si suponemos 1, es claro que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] implica que $n \leq M$ pues por 1 no puede ser que $n>M$, y similarmente 2 implica 1.

PD: Voy a responder al resto de intervenciones del hilo...

Tal vez sea mi problema porque no la entiendo, pero a mí lo que me parece absurda es esta frase. ¿A qué te estás refiriendo?
Saludos.

Supongo que se refiere al constructivismo que no acepta el principio del tercero excluido y, por tanto, tampoco su consecuencia: la reducción al absurdo.

Hasta donde yo sé, no es que haya algunos matemáticos que no acepten la reducción al absurdo, sino que si existe una demostración que no la usa y otra que si la usa, prefieren la primera. Es una cuestión de gustos, creo que se entiende mejor la validez de una proposición si construyes una demostración "constructiva", que si limitas a razonar que lo contrario no se da. A mi modo de ver es útil para demostraciones largas, en donde un argumento largo por reducción al absurdo llega a dar un poco de dolor de cabeza, mientras que si la considero muy útil para usar eventualmente.
No sé si además de la cuestión de gustos, exista una formalización de la lógica y de la matemática que niegue la reducción al absurdo. Hay muchas demostraciones que no conozco prueba sin usar reducción al absurdo, teoremas importantes como el principio de inducción para los números naturales cuya demostración (más sencilla) se basa en que si $A\subset N \wedge 0 \in A \wedge \forall n \in N n+1\in A$ y además supones $A \neq N$ llegas a una contradicción y por lo tanto $A=N$.

- - - Actualizado - - -

imagino q wikipedia y alriga tienen razón.

pero yo eso lo tenía entendido por la paradoja de rusell https://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Russell
con ella apraerce una contradicción en la teoría de conjuntos cuanto tomas en cuenta la existencia de conjuntos de "conjuntos de una clase"
(no se cómo expresarlo formalmente). (mmm, perdón, creo q simplemente no sé expresarlo) como sería el cojunto de todas las herramientas de la matemática, o el conjunto de todos los conjuntos.
y si no me equivoco para validar las reducciones por absurdo se usan conjuntos de este tipo.

No tiene que ver la paradoja de Russell con la reducción al absurdo.
Esta consiste en suponer que para toda fórmula $\phi(x)$ (que no contenga la variable $A$) entonces es un axioma:

$$\exists A \forall x ( x\in A \leftrightarrow \phi(x))$$

En otras palabras, podemos crear el conjunto $A=\{ x | \; \phi(x) \}$ de los conjuntos que cumplen la fórmula. Si lo aplicamos a la fórmula $\phi(x) \equiv x \not \in x$, nos da la existencia del conjunto $R=\{x | x \in x\}$, es decir que el axioma anterior nos da que:

$$\forall x (x \in R \leftrightarrow x \not\in x)$$

Y sustituyendo $x$ por $R$:
$R \in R \leftrightarrow R \not\in R$Y es una contradicción, pues se supone que pasa alguno de los dos $R \in R$ o $R \not\in R$, pero si pasa $R \in R$ por ('') también pasa $R \not \in R$ que es contradictorio y lo mismo si suponemos que $R \not \in R$.
Hay varias formas de solucionar la paradoja (una se basa en reestringir el axioma anterior, y otra en hablar de clases y conjuntos), todas las formas interesantes de solucionarlo implican que no existe el conjunto de todos los conjuntos así como el conjunto complementario.
Pero insisto, la reducción al absurdo es algo puramente lógico, no matemático.

[Alriga]

Re: Equivalencia entre dos enunciados

... Pero insisto, la reducción al absurdo es algo puramente lógico, no matemático ...

Es la formalización matemática del Modus tollendo tollens de la lógica proposicional.

Como dice alex, entiendo que una cosa es que haya líneas de investigación que intenten hacer matemáticas sin utilizarlo y otra diferente es que se dude de su validez.

Saludos.