Olimpiada (P 3/4) Año Nuevo Matemático 2018

[angel relativamente]

Como el año pasado, voy a subir 4 problemas propuestos de matemáticas para que paséis unas felices navidades haciendo lo que más os gusta. Dejaré 1 semana entre problema y problema para que los penséis. Una semana después de subir el último, redactaré las soluciones de los 4. Para cada problema dejaré una pista que podréis usar opcionalmente. Si la usáis, comentadlo. ¡Suerte y a disfrutar de las matemáticas!

PROBLEMA 3

¿Existen dos números primos consecutivos tales que su diferencia sea mayor o igual a $2018$?

PISTA

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Si existiesen, bastaría encontrar $2017$ números compuestos consecutivos.

Recordad: Si dejáis una solución, hacedlo entre las etiquetas [SOLUCION] [/SOLUCION]

[Richard R Richard]

Re: (P 3/4) Año Nuevo Matemático 2018

Hola Angel ,

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Los números que pides existen

Aqui voy con mi rudimentaria demostración, a ver si atino esta vez....

llamo $p_i$ o $p_j$ a un número primo de la tabla que adjunto al final donde $i$ o $j$ es el índice que le asigne en orden creciente a su izquierda, de la cual se observa que hay 306 números primos menores a 2018.

si llamo $x$ al menor de los números primos que estoy buscando, sabemos a priori que es impar y si le agrego 1 sera par y por lo tanto ese numero será no primo o divisible,

si le agrego 2 deberá ser divisible por 3 y por lo tanto no primo....

así fui pensando que $x$ debe cumplir con una serie de ecuaciones que hacen que los números intermedios entre el menor y el mayor del rango sean todos divisibles osea no primos.

$\dfrac{x+(p_i-1)}{p_i}= K_i$ donde $K_i\in\mathbb N$ es el número que lo hace divisible.

luego para cualquier $p_i$ o $p_j$ se debe dar que

$x-1=p_i(K_i-1)=p_j(K_j-1)......$ con $i,j$ arbitrarios

esto da la pauta de que $x-1$ debe ser al menos múltiplo de todos los números primos menores a 2018 que figuran en la tabla

de donde

$x=1+\prod\limits^{306}_{i=1} p_i$ sería el menor de todos los posibles de hallar.

por lo si llamo $y$ al siguiente número primo este debe ser impar y mayor que $x+2017$ al menos podría ser $y\geqslant x+2018$

$i$	$p_i$	$i$	$p_i$	$i$	$p_i$	$i$	$p_i$	$i$	$p_i$
1	2	63	307	125	691	187	1117	249	1579
2	3	64	311	126	701	188	1123	250	1583
3	5	65	313	127	709	189	1129	251	1597
4	7	66	317	128	719	190	1151	252	1601
5	11	67	331	129	727	191	1153	253	1607
6	13	68	337	130	733	192	1163	254	1609
7	17	69	347	131	739	193	1171	255	1613
8	19	70	349	132	743	194	1181	256	1619
9	23	71	353	133	751	195	1187	257	1621
10	29	72	359	134	757	196	1193	258	1627
11	31	73	367	135	761	197	1201	259	1637
12	37	74	373	136	769	198	1213	260	1657
13	41	75	379	137	773	199	1217	261	1663
14	43	76	383	138	787	200	1223	262	1667
15	47	77	389	139	797	201	1229	263	1669
16	53	78	397	140	809	202	1231	264	1693
17	59	79	401	141	811	203	1237	265	1697
18	61	80	409	142	821	204	1249	266	1699
19	67	81	419	143	823	205	1259	267	1709
20	71	82	421	144	827	206	1277	268	1721
21	73	83	431	145	829	207	1279	269	1723
22	79	84	433	146	839	208	1283	270	1733
23	83	85	439	147	853	209	1289	271	1741
24	89	86	443	148	857	210	1291	272	1747
25	97	87	449	149	859	211	1297	273	1753
26	101	88	457	150	863	212	1301	274	1759
27	103	89	461	151	877	213	1303	275	1777
28	107	90	463	152	881	214	1307	276	1783
29	109	91	467	153	883	215	1319	277	1787
30	113	92	479	154	887	216	1321	278	1789
31	127	93	487	155	907	217	1327	279	1801
32	131	94	491	156	911	218	1361	280	1811
33	137	95	499	157	919	219	1367	281	1823
34	139	96	503	158	929	220	1373	282	1831
35	149	97	509	159	937	221	1381	283	1847
36	151	98	521	160	941	222	1399	284	1861
37	157	99	523	161	947	223	1409	285	1867
38	163	100	541	162	953	224	1423	286	1871
39	167	101	547	163	967	225	1427	287	1873
40	173	102	557	164	971	226	1429	288	1877
41	179	103	563	165	977	227	1433	289	1879
42	181	104	569	166	983	228	1439	290	1889
43	191	105	571	167	991	229	1447	291	1901
44	193	106	577	168	997	230	1451	292	1907
45	197	107	587	169	1009	231	1453	293	1913
46	199	108	593	170	1013	232	1459	294	1931
47	211	109	599	171	1019	233	1471	295	1933
48	223	110	601	172	1021	234	1481	296	1949
49	227	111	607	173	1031	235	1483	297	1951
50	229	112	613	174	1033	236	1487	298	1973
51	233	113	617	175	1039	237	1489	299	1979
52	239	114	619	176	1049	238	1493	300	1987
53	241	115	631	177	1051	239	1499	301	1993
54	251	116	641	178	1061	240	1511	302	1997
55	257	117	643	179	1063	241	1523	303	1999
56	263	118	647	180	1069	242	1531	304	2003
57	269	119	653	181	1087	243	1543	305	2011
58	271	120	659	182	1091	244	1549	306	2017
59	277	121	661	183	1093	245	1553
60	281	122	673	184	1097	246	1559
61	283	123	677	185	1103	247	1567
62	293	124	683	186	1109	248	1571

Saludos

[Alriga]

Re: (P 3/4) Año Nuevo Matemático 2018

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Con este también me atrevo a intentarlo.

2019! = 1·2·3·4· ... ·2018·2019

Por lo tanto 2019! es divisible por 2, 3, 4, .... , 2018 y 2019

1) $n_1$=2019!+2 es divisible por 2
2) $n_2$=2019!+3 es divisible por 3
3) $n_3$=2019!+4 es divisible por 4
4) $n_4$=2019!+5 es divisible por 5

........................................................

2016) $n_{2016}$=2019!+2017 es divisible por 2017
2017) $n_{2017}$=2019!+2018 es divisible por 2018
2018) $n_{2018}$=2019!+2019 es divisible por 2019

Hemos construido una lista 1) 2) 3) ... 2017) y 2018) formada por 2018 números consecutivos, que son todos compuestos.

Por lo tanto la diferencia entre el mayor número primo menor que 2019!+2 y el siguiente número primo, será mayor que 2018.

Saludos.

[angel relativamente]

Re: (P 3/4) Año Nuevo Matemático 2018

Para Richard:

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Richard, reconozco estar algo perdido con tu demostración. No obstante, si que encuentro varios fallos en lo que entiendo:
Empiezas probando que existen llamando $x$ al menor que lo verifica. Pero no puedes probar la existencia de algo suponiéndola, ya que todas las conclusiones que saques podrían ser falsas. Aceptemos pues que existen y sea $x$ el menor que lo verifica. Claramente $x+1$ es par y no es primo. Lo que no queda tan claro es que $x+2$ sea múltiplo de 3. En general, para un primo cualquiera, eso no es cierto. En la propia tabla escribes muchos primos gemelos (aquellos cuya diferencia es 2), como el 1997 y el 1999, y se conjetura que hay infinitos. Pero aunque $x$ sea un primo que verifique las condiciones (imponemos que $x+1,\cdots , x+2017$ sean todos compuestos), no veo claro que $x+2$ sea múltiplo de 3. Si el resto de la división de $x$ por 3 es 2, entonces $x+2$ no es múltiplo de 3, pero podría ser compuesto. De ahí, no entiendo mucho la deducción de la expresión $\dfrac{x+(p_i-1)}{p_i}= K_i$. Échale un ojo y me dices.
En cualquier caso, gracias por el trabajo que has hecho, ¡y por la tabla con más de 300 primos!

Para Alriga

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¡Enhorabuena, esa era la respuesta esperada!
Por curiosidad, ¿conocías este resultado, has investigado o se te ha ocurrido?
Es la idea de la demostración de que el gap (la diferencia entre dos primos consecutivos) puede ser arbitrariamente grande.

Saludos y gracias a ambos

[Richard R Richard]

Re: (P 3/4) Año Nuevo Matemático 2018

Hola angel

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si si ...tienes razon, hay pares multiplos de 3 así que mi conjetura es incorrecta, anoche no lo vi, .... x+1 puede ser divisible por 3, así que le hechare un rato mas de tiempo.....

solo se me ocurre que para defender un poco lo que hice , puedo escojer x tal que se cumplan esas condiciones $\dfrac{x+(p_i-1)}{p_i}= K_i$ , pues si encuentro un x que lo cumpla seguro que los 2017 números subsiguientes son compuestos, con lo cual habré hallado un ejemplo de existencia de un "primo" a priori inferior $x$ , y como no hay cota maxima, existe uno superior $y$ talque $y-x\geqslant 2018$, , y aunque haga esos supuestos, no garantizo para nada que $x$ sea primo.. pero igual tirare de la piola un poco mas, aver que se me ocurre, gracias por proponer este tipo de hilos.

En cualquier caso, gracias por el trabajo que has hecho, ¡y por la tabla con más de 300 primos!

aqui puedes ver los números primos menores al millon

http://www.disfrutalasmatematicas.co...os-listas.html


no pude evitar la tentación de mirar lo que hizo alriga, y sin animo de criticar su resultado me parece que 2019! no es primo , imagino que el primo es $1+2019!$


con ese criterio $x=n!+1 \,\forall n$ serían primos lo cual no es cierto con n=4

y si mi criterio es cierto entonces $x=1+\prod\limits^{306}_{i=1} p_i$

la productoria de los primos tambien es resultado , pues porque para ser multiplo de 4 ya por lo menos es multiplo de 2

me refiero a

$n_3=2019!+4$ es divisible por 4.....

entonces

$n_3=2019!+4$ es divisible por 2.....

esto es existe un natural $K_1$ que al multiplicarlo por el primo en este caso 2 , es igual al número buscado $x$ menos 1


entonces esta condición n=3 puede ser desechada por redundar quedando solo en la productoria los primos , el menor de los x que cumple con la condición es la productoria de primos mas 1


de allí viene la logica que use , aunque si veo que lo explique pesimo, o sigo sin ver en que me equivoco.

esa misma formula se puede ver de este modo $\dfrac{(X-1)+x_i}{x_i}= K_i$ que es lo que presentó alriga para todos los números del rango

se puede ver en este ejemplo que $\dfrac{(x-1)+2p_i}{p_i}= K_i+1$ tambien entero por lo cual es multiplo o compuesto

vuelvo a editar para dar sentido , las acotaciones que hace angel que habia eliminado por erroneas, perdon
pensaba que probablemente el numero posterior de la productoria de numeros primos debia ser primo,


$2+1=3$ primo
$2\cdot 3+1=7$ primo
$2\cdot 3\cdot 5+1=31$ primo
$2\cdot 3\cdot 5\cdot 7+1=211$ primo
$2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11+1=2311$ primo
$2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13+1=30031=59\cdot 509 compuesto???$


Enesima vez que edito, creo que asimile el resultado de alriga, el demuestra que hay 2018 números compuestos seguidos luego del 2019!

yo creo que que hay que hay 2018 números compuestos seguidos luego de la productoria de los primeros 306 números primos

$x_0=1+\prod\limits^{306}_{i=1} p_i$ puede o no ser compuesto

$2+\prod\limits^{306}_{i=1} p_i$ es divisible por 2 compuesto

$3+\prod\limits^{306}_{i=1} p_i =x_0 +2$ es divisible por 3 compuesto

$4+\prod\limits^{306}_{i=1} p_i$ es divisible por 2 compuesto

y si sigo llego a 2017

$2017+\prod\limits^{306}_{i=1} p_i$ es divisible por 2017 compuesto

luego tengo

$2018+\prod\limits^{306}_{i=1} p_i$ es divisible por 2 y 1009 compuesto

$2019+\prod\limits^{306}_{i=1} p_i$ es divisible por 3 y 673 compuesto


asi que tengo los 2018 numeros seguidos compuestos....

Saludos

[angel relativamente]

Re: (P 3/4) Año Nuevo Matemático 2018

Paso a recordar la demostración de Euclides de que hay infinitos primos:
Supongamos que hay un número finito y sea $p$ el más grande. Entonces $(2\cdot 3 \cdot 5\cdots p )+ 1$ no es divisible por ningún primo y en consecuencia es primo, llegando a una contradicción.

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No obstante, al no ser cierto que hay un número finito de primos, no se puede deducir que el producto de primos consecutivos más 1 sea primo.
Como tú mismo has escrito Richard, $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13+1=30031=59\cdot 509$ es compuesto, y tampoco es una gran sorpresa teniendo en cuenta que entre el 13 y el 30031 hay muchos primos. $x=1+\prod\limits^{306}_{i=1} p_i$ no tengo claro que sea primo. Pero aunque lo fuese, tampoco tengo claro que el siguiente primo sea al menos 2018 unidades mayor.
En la solución de Alriga, efectivamente $2019!$ no es primo y $2019!+1$ tampoco se sabe si lo es. Lo que si se sabe que hay primos menores que $2019!+2$ y primos mayores que $2019!+2019$. Si llamamos $p$ al mayor primo menor que $2019!+2$ y $P$ al menor primo mayor que $2019!+2019$, entonces claramente $P-p>2018$ que es lo que pedía el problema.
Nota: De hecho, Alriga prueba que puede ser mayor estricto (y por tanto mayor o igual). Se podría haber buscado una sucesión de compuestos más pequeña que verificase el menor o igual, a saber: $2018!+2, \cdots , 2018!+2018$. Yo personalmente no tengo ni idea si es la sucesión más pequeña de 2017 compuestos consecutivos (probablemente no), pero eso ya es otro problema.

¡Saludos!

Respuesta al EDIT de Richard:

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Ahora sí entiendo mejor por dónde vas. Efectivamente y si no se me escapa nada, la sucesión $2+\prod\limits^{306}_{i=1} p_i , \cdots , 2018+\prod\limits^{306}_{i=1} p_i$ son 2017 números compuestos consecutivos y eso ya resolvería el problema.
¡ENHORABUENA RICHARD!
La solución es más compleja que la esperada, pero al mismo tiempo es muchísimo más pequeña. Esperaba que al proponerlo por aquí alguien diese una solución alternativa. Me la anoto

[Alriga]

Re: (P 3/4) Año Nuevo Matemático 2018

Paso a recordar la demostración de Euclides de que hay infinitos primos:
Supongamos que hay un número finito y sea $p$ el más grande. Entonces $(2\cdot 3 \cdot 5\cdots p )+ 1$ no es divisible por ningún primo y en consecuencia es primo, llegando a una contradicción.

No necesariamente es primo, puede ser compuesto pero producto de algún primo que no están en la lista, lo que salva la contradicción : La demostracion más bella de las matemáticas

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Para Alriga
¡Enhorabuena, esa era la respuesta esperada!
Por curiosidad, ¿conocías este resultado, has investigado o se te ha ocurrido?
Es la idea de la demostración de que el gap (la diferencia entre dos primos consecutivos) puede ser arbitrariamente grande.

Está claro que me gustan los números primos, como demuestra que abriese el hilo que enlazo arriba. En su momento, hace años, conocí la demostración de que se puede conseguir una lista de “n” números compuestos consecutivos tan larga como se quiera y que la demostración consistía en buscarlos a partir del factorial de n.

Me fascinó, es muy chocante que los primos sean infinitos y que al mismo tiempo puedas conseguir que sean tan escasos como tú quieras. Recordando que la lista se conseguía a partir del factorial y leyendo tu pista, no me fue difícil refrescar recuerdos y particularizar la demostración para el caso >2018

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: (P 3/4) Año Nuevo Matemático 2018

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me he puesto a jugar un rato

No necesariamente es primo, puede ser compuesto pero producto de algún primo que no están en la lista,

el ejemplo es $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13+1=30031=59\cdot 509$ es divisible por un primo que no está en la lista, suponer una lista completa de todos los primos es lo que hace llegar al absurdo....

Me fascinó, es muy chocante que los primos sean infinitos y que al mismo tiempo puedas conseguir que sean tan escasos como tú quieras.

lo mismo digo

Esperaba que al proponerlo por aquí alguien diese una solución alternativa.....

si serán escasos que solo entre la solución de alriga y la mia hay un número enorme de sucesiones de 2018 números compuestos seguidos ,

si hasta el 2019 hay 2019-306= 1713 números compuestos

entonces hay $\dst\sum\limits^{1713}_{i=1} \dfrac{1713!}{i!\cdot (1713-i)!}=\sum\limits^{1713}_{i=1} \dbinom{1713}{i}$ sucesiones que son solución , aunque no se me ocurre como eliminar las repetidas

aquellas que incluyan en la productoria el 4 y 6 con la que incluye solo el 24 por ejemplo para hallar el numero de soluciones que son distintas entre si

me gustaria generalizar pero no se si se puede...

"Luego de un número cuya descomposición en factores incluya todos los números primos inferiores al dato de números compuestos seguidos que se quiera , la segunda unidad posterior será un numero compuesto, y la sucesión sigue con una longitud igual al primer numero primo posterior al dato menos -2 ".(con 2018 aseguramos solo 2027-2=2025 compuestos seguidos) (pero falla si se busca un año primo menos -1 , ej 6, 2016 etc)

siguiendo el ejemplo ...conseguir al menos 14 seguidos desde el 30032 deberian hallarse 15 numeros compuestos seguidos ya que el primo siguiente al 13 es el 17., al restarle 2 quedan 15 elementos[ quito el primero(+1)y el ultimo de la lista(el siguiente primo) ]


1) $30032=2^4\cdot1877$
2) $30033=3^2\cdot47\cdot71$
3) $30034=2\cdot15017$
4) $30035=5\cdot6007$
5) $30036=2^2\cdot3\cdot2503$
6) $30037=7^2\cdot613$
7) $30038=2\cdot23\cdot653$
8) $30039=3\cdot17\cdot19\cdot31$
9) $30040=2^3\cdot5\cdot751$
10) $30041=11\cdot2731$
11) $30042=2\cdot3^2\cdot1669$
12) $30043=13\cdot2311$
13) $30044=2^2\cdot7\cdot29\cdot37$
14) $30045=3\cdot5\cdot2003$
15) $30046=2\cdot83\cdot181$

aqui debería venir el primo y

16) $30047=primo$

y viene

pero como dije no es regla pues falla buscando números primos menos 1 pues si buscara 16 seguidos tambien llegaria a la sucesion de 30032 en adelante que de casualidad 30031 no es primo y se logra tener 16 seguidos , pero no creo que sea regla...


por lo que
"Luego de un número cuya descomposición en factores incluya todos los números primos hasta incluir el primero superior al dato de números compuestos seguidos que se quiera , la segunda unidad posterior a la productoria será un número compuesto, y la sucesión sigue con una longitud igual al segundo numero primo posterior al dato menos -2"

con 2018 hariamos la productoria de los primeros 307 numeros primos y podemos asegurarnos 2039-2=2037 compuestos seguidos
con 2016 haríamos la productoria de los primeros 306 números primos y podemos asegurarnos 2027-2=2025 compuestos seguidos cuando antes solo podiamos asegurar 2015 =2017-2

Saludos