Olimpiada (P 4/4) Año Nuevo Matemático 2018

[angel relativamente]

Como el año pasado, voy a subir 4 problemas propuestos de matemáticas para que paséis unas felices navidades haciendo lo que más os gusta. Dejaré 1 semana entre problema y problema para que los penséis. Una semana después de subir el último, redactaré las soluciones de los 4. Para cada problema dejaré una pista que podréis usar opcionalmente. Si la usáis, comentadlo. ¡Suerte y a disfrutar de las matemáticas!

PROBLEMA 4


Del polinomio $a_{2018} x^{2018}+a_{2017}x^{2017}+a_{2016} x^{2016}+\cdots+a_2 x^2+a_1 x+a_0$ se sabe que todas sus raíces son distintas y que $a_{2018}=2018$, $a_{2017}=2017$, $a_{2016}=2016$. Prueba que no todas sus raíces son reales.

PISTA

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Necesitarás el teorema de Rolle

Recordad: Si dejáis una solución, hacedlo entre las etiquetas [SOLUCION] [/SOLUCION]