Otras carreras Demostrar desigualdad

[cristianoceli]

Hola tengo problema con demostrar esta desigualdad que proviene de este enunciado:

Sea $d,d^{\prime}$ and $d^{\prime\prime}$ métricas definidas. Para cualquier $x,y \in{\mathbb{R^n}}$ se cumple que:


$d^{\prime}(x,y)\leq{nd^{\prime\prime}(x,y)}$ , donde:


$d^{\prime}(x,y)= \displaystyle\sum_{i=1}^N |x_i-y_i|$ y $d^{\prime\prime} (x,y) = max_{1\leq{i}\leq{n}} |x_i-y_i|$


Entre las dudas que tengo es que no entiendo muy bien a que se refiere con máximo

Se que por ejemplo para $n=2$ queda:

$|x_1-y_1|+|x_2-y_2|\le2\cdot\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\}$ pero debo generalizarla

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Demostrar desigualdad

que $|x_i-y_i|$ sea maximo implica que

$\exists i \in n :|x_{i}-y_{i}|\geqslant|x_j-y_j |\,\forall j\in n : i\neq j$

luego

$n |x_{i}-y_{i}|\geqslant \dst \sum \limits_{j=1}^n|x_j-y_j |$

entonces

$n |x_{i}-y_{i}|=n MAX(|x_i-y_i|)=d''\geqslant d'=\dst \sum \limits_{j=1}^n|x_j-y_j |$ $\therefore$ CQD

[cristianoceli]

Re: Demostrar desigualdad

luego

$n |x_{i}-y_{i}|\geqslant \dst \sum \limits_{j=1}^n|x_j-y_j |$

Hola, no acabo por entender esa parte.

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Demostrar desigualdad

Hola Cristian existe una diferencia $|x_{i}-y_{i}|$ para cada dimensión espacial del espacio de n dimensiones. De esas n diferencias existe una que es la mayor de todas, si sumo n veces la maxima, sera mayor que la suma de todas las individuales... eso es lo que representa la formula.


si $|x_{i}-y_{i}|$ es maxima para un $i$ "fijo" entonces

$|x_{i}-y_{i}|\geqslant|x_{1}-y_{1}|$
$|x_{i}-y_{i}|\geqslant|x_{2}-y_{2}|$
$|x_{i}-y_{i}|\geqslant|x_{3}-y_{3}|$
.........
$|x_{i}-y_{i}|\geqslant|x_{n}-y_{n}|$

si sumo ambos lados de todas estas ecuaciones



$\dst \sum \limits_{j=1}^n|x_i-y_i |=n|x_i-y_i |\geqslant \dst \sum \limits_{j=1}^n|x_j-y_j |$

esto es la suma de todos los módulos individuales es menor que sumar n veces el maximo modulo.

[cristianoceli]

Re: Demostrar desigualdad

Hola Cristian existe una diferencia $|x_{i}-y_{i}|$ para cada dimensión espacial del espacio de n dimensiones. De esas n diferencias existe una que es la mayor de todas, si sumo n veces la maxima, sera mayor que la suma de todas las individuales... eso es lo que representa la formula.


si $|x_{i}-y_{i}|$ es maxima para un $i$ "fijo" entonces

$|x_{i}-y_{i}|\geqslant|x_{1}-y_{1}|$
$|x_{i}-y_{i}|\geqslant|x_{2}-y_{2}|$
$|x_{i}-y_{i}|\geqslant|x_{3}-y_{3}|$
.........
$|x_{i}-y_{i}|\geqslant|x_{n}-y_{n}|$

si sumo ambos lados de todas estas ecuaciones



$\dst \sum \limits_{j=1}^n|x_i-y_i |=n|x_i-y_i |\geqslant \dst \sum \limits_{j=1}^n|x_j-y_j |$

esto es la suma de todos los módulos individuales es menor que sumar n veces el maximo modulo.

Vale, ahora si me quedó claro.

Saludos y gracias