1r ciclo Encontrar la tangente unitaria T

[Enrique Ortiz Martinez]

Encontrar la tangente unitaria $T$ de :

$f (t) =$ $(5cos(t)- cos(5t),5sen(t)-sen(5t))$

Usando la formula de la tangente unitaria es:

$T(t) =$ $\frac{{f}^{ `}(t)}{||{f}^{` }(t)|| }$

Derivo y obtengo:

${f}^{ `}(t)$ $=$ $(-5sen(t)+5sen(5t),5cos(t)-5cos(5t))$

$||{f}^{` }(t)||$ $=$ $\sqrt{(-5sen(t)+5sen(5t){)}^{2 }+(5cos(t)-5cos(5t){)}^{ 2}}$

$||{f}^{` }(t)||=\sqrt{25}{sen}^{2 }(5t)-50sen(5t)sen(t)+25{sen}^{2 }(t)+25{cos}^{2 }(t)-50cos(5t)cos(t)+25{cos}^{2 }(5t)$

Solo llego hasta ahí, y ya no se como simplificarlo, me podrían ayudar, de antemano gracias

[Al2000]

Re: Encontrar la tangente unitaria T

Hay un par de relaciones que puedes usar y tal vez te simplifiquen algo:

$\mathrm {sen}^2 \, A +\cos ^2 A = 1$

$\mathrm {sen} \, A \,\, \mathrm {sen} \, B = \frac 1 2 [\cos (A-B) - \cos (A+B)]$

$\cos A \, \cos B = \frac 1 2 [\cos (A-B) + \cos (A+B)]$


Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD. Puedes ahorrar algo de manejo de números si previamente factorizas la expresión de $f'(t)$: $f'(t) = 5 (- \, \mathrm {sen} \, t + \, \mathrm {sen} \, 5 t,\, \cos t - \cos 5 t)$

[Enrique Ortiz Martinez]

Re: Encontrar la tangente unitaria T

Usando la identidad pude simplificar hasta aquí

$||f`(t)||$ $=$ $\sqrt{50 [1 - cos(5t - t)]}$

¿hasta aquí puede quedar el resultado o se puede simplificar mas?

[Al2000]

Re: Encontrar la tangente unitaria T

Bueno, yo siempre he creído que 5t - t = 4t

También puedes usar que $1 - \cos 2A = 2 \, \mathrm {sen}^2 \, A$ para simplificar un poco mas.

Saludos,

$\mathcal A \ell$