Secundaria Circunferencia y recta

[Sagitario A]

¿Para qué valores de b la recta $Y=x+b$ es tangente a la circunferencia ${x}^{2 }+{y}^{2 }=9$?
Lo he intentado hacer, pero no se cómo.

[sater]

Re: Circunferencia y recta

Buenas. Tienes la ecuación de una circunferencia, y la de una recta que al darle valores a b la desplazas horizontalmente. Si te haces un dibujo, veras que tal recta solo puede ser tangente a la circunferencia en dos puntos (dos valores de x), tales que uno es el opuesto del otro. Para encontrarlo tienes que exigir que la pendiente de la función que describe una de las ramas del circulo (la de $y\ge 0$ por ejemplo) sea igual a la de la recta (osea, 1). Es decir, debes ver para que punto: $(\sqrt{9-x^2})'=1$. Si no me equivoco, sale $x^2=9/2$. En tal punto, $\sqrt{9-x^2}=x+b$, lo que te da el valor posible de b (si coges la rama positiva, debes sustituir el valor de x que es negativo). Sale $b\approx 4.24$. Si lo compruebas con un programa gráfico (yo te recomiendo geogebra pues te permite definir una función de x con un parámetro libre; b en este caso, y poder desplazar el valor de b para que veas cuando se hace tangente a la circunferencia), podrás estar más seguro de tus resultados.

Espero haberme explicado. Un saludo.

[Breogan]

Re: Circunferencia y recta

Hola:

¿Para qué valores de b la recta $Y=x+b$ es tangente a la circunferencia ${x}^{2 }+{y}^{2 }=9$?
Lo he intentado hacer, pero no se cómo.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Como en los puntos de intersección se cumple las abscisas y ordenadas del punto son las mismas para ambas curvas, tenemos:

$\dst + \sqrt{3^2 - x^2} = x + b$

$\dst 3^2 - x^2 = x^2 + 2 b x + b^2$

Reagrupando:

$\dst 2 x^2 + 2 b x + ( b^2 - 3^2 ) = 0$

se verifica que esta ecuación también es valida para la otra rama de la circunferencia.
La solución esta dada por la clasica:

$\dst x_{1,2} = \frac {- b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a }$

con los valores del problema:

$\dst x_{1,2} = \frac {- 2 b \pm \sqrt{4 b^2 - 8 ( b^2 - 3^2 )}}{4 }$

Como la tangente comparte un solo punto con la circunferencia, tenemos que hacer que las raíces $\dst x_{1,2}$ sean reales e iguales. Esto se logra solo cuando el radicando(?) es igual a cero, como sigue:

$\dst 4 b^2 - 8 ( b^2 - 3^2 ) = 0$

$\dst - 4 b^2 + 72 = 0$

$\dst b^2 = \frac{72}{4}$

Y así quedaría resuelto el problema.

s.e.u.o.

Suerte!