1r ciclo Transformada de Fourier

[The Higgs Particle]

Buenas, me piden encontrar $x(t)$ mediante una T.F. y apenas hemos dado nada, así que estoy bastante perdida:

$x''(t) + 2 \alpha x'(t) + \omega^2 x(t) = f(t)$

con:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y como condiciones iniciales: $x(0)=x'(0)=0$

Aplico la T.F. a ambos lados de la ecuación y, por cómo se relaciona la T.F de una función g(x) con la de sus sucesivas derivadas obtengo:

$-p^2 \hat{g}(p) + 2 \alpha (-ip) \hat{g}(p) + \omega^2 \hat{g}(p)$$= TF\left( f(t) \right) \to \dst \hat{g}(p) \frac{TF\left( f(t) \right)}{-p^2-2 \alpha ip + \omega^2 }$

donde $\hat{g}(p)$ es la TF de $x(t)$ y, para la TF de f(t), obtengo:

$TF \left( f(t) \right) = \dst \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{ipt} f(t) \dd t = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$$\dst \left[\int_{- \infty}^{0} e^{ipt} f(t) \dd t + \int_{0}^{t_0} e^{ipt} f(t) \dd t + \int_{t_0}^{\infty} e^{ipt} f(t) \dd t \right]$$\dst = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^{t_0} e^{ipt} f_0 \dd t = \frac{f_0}{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^{t_0} \left( \cos(pt) + i \sin(pt) \right) \dd t$$= \dst \frac{f_0}{p \sqrt{2 \pi}} \left[ \sin(p t_0) - i \cos(p t_0) + i \right]$

Que no sé si es correcto y me parece una burrada. ¿Es correcto?

Aparte, no me han explicado cómo obtener la función a partir de la transformada. ¿Cómo sigo?

[Visitante]

Re: Transformada de Fourier

Hola,
Los coeficientes de la ecuación son coeficientes constantes o funciones? Nosotros aún no hemos llegado a la transformada de fourier, vamos por la de laplace, pero para ver si lo tienes bien se me ocurre sacar la solución de la EDO lineal homogénea asociada a través de la ec. caract. , otra particular de la ecuación por el método de variación de las constantes y luego ver si la solución que tú has obtenido se puede poner como combinación de estas.

[The Higgs Particle]

Re: Transformada de Fourier

Hola,
Los coeficientes de la ecuación son coeficientes constantes o funciones?

No sé si te he entendido bien, pero es la ec. de un movimiento armónico amortiguado: $\alpha =$ cte. de amortiguamiento; $\omega =$ frecuencia de oscilación

Nosotros aún no hemos llegado a la transformada de fourier, vamos por la de laplace, pero para ver si lo tienes bien se me ocurre sacar la solución de la EDO lineal homogénea asociada a través de la ec. caract. , otra particular de la ecuación por el método de variación de las constantes y luego ver si la solución que tú has obtenido se puede poner como combinación de estas

Pero no tengo nada que comprobar. Quiero decir, aún no he obtenido la solución $x(t)$, sino su (posible) transformada. Necesitaría saber si la transformada está bien y cómo volver de la transformada a $x(t)$

[sater]

Re: Transformada de Fourier

Buenas. Creo que esperan que ensayes lo siguiente: $\displaystyle x(t)=\int \dfrac{\dd u}{\sqrt{2\pi}} \ee^{-i u t} \tilde x(u)$, y además conozcas la transformada de Fourier de la función pulso (creo que va como la función sinc(u) con alguna fase dependiendo del intervalo del pulso). Si lo introduces todo en la ecuación diferencial, te queda una ecuación algebraica para la transformada $\tilde x(u)$ de donde la despejas y que con suerte podrías deshacer la transformada para obtener $x(t)$.
Quizá me equivoco y no van por ahí los tiros, disculpa si es así. Un saludo.