Otras carreras Obtener el valor (números complejos)

[cristianoceli]

Hola, tengo dificultades en determinar el valor de $(\displaystyle\frac{1+itan(\displaystyle\frac{\pi}{8068})}{1-itan(\displaystyle\frac{\pi}{8068})})^{2017}$
La verdad no se como atacarlo
EDITADO por error de tipeo
De antemano gracias

[Alriga]

Re: Obtener el valor (números complejos)

¿Lo has escrito bien? Lo digo porque "i" se simplifica y queda

$\left (\dfrac{i+i \ \tan(\pi/8068)}{i-i \ \tan(\pi/8068)}\right )^{2017}=\left (\dfrac{1+\tan(\pi/8068)}{1-\tan(\pi/8068)}\right )^{2017}$

Saludos.

[cristianoceli]

Re: Obtener el valor (números complejos)

¿Lo has escrito bien? Lo digo porque "i" se simplifica y queda

$\left (\dfrac{i+i \ \tan(\pi/8068)}{i-i \ \tan(\pi/8068)}\right )^{2017}=\left (\dfrac{1+\tan(\pi/8068)}{1-\tan(\pi/8068)}\right )^{2017}$

Saludos.

Si tienes razón ya lo edite

[Alriga]

Re: Obtener el valor (números complejos)

$\left (\dfrac{1+i \ \tan(\pi/8068)}{1-i \ \tan(\pi/8068)}\right )^{2017}$

El módulo del numerador es:

$\sqrt{1^2+\tan^2(\pi/8068)} = M$

El módulo del denominador es también $M=\sqrt{1^2+\tan^2(\pi/8068)}$

El argumento del numerador es $\pi/8068$ porque:

$\alpha=\arctan \dfrac {\tan (\pi/8060)}{1}=\arctan \Big (\tan (\pi/8060)\Big )=\pi/8060$

Operando igual, se ve que el argumento del denominador es $\beta=-\pi/8068$

Por lo tanto

$\left (\dfrac{1+i \ \tan(\pi/8068)}{1-i \ \tan(\pi/8068)}\right )^{2017} =$

$= \left (\dfrac{M \angle (\pi/8068)}{M \angle (-\pi/8068)}\right )^{2017}=$

$=\Big (1 \angle (2\pi / 8068) \Big )^{2017}=1^{2017} \angle (2017\cdot 2 \pi/8068)=1 \angle (\pi/2) = i$

$\left (\dfrac{1+i \ \tan(\pi/8068)}{1-i \ \tan(\pi/8068)}\right )^{2017} = i$

Saludos.

[Breogan]

Re: Obtener el valor (números complejos)

Hola:

$\alpha=\arctan \dfrac {\tan (\pi/8060)}{1}=\arctan \Big (\tan (\pi/8060)\Big )=\pi/8060$

Operando igual, se ve que el argumento del denominador es $\beta=-\pi/8068$

Creo que se debe tener en cuenta que $\dst \arctan \left( \tan \alpha \right) = \alpha + n \ \pi \quad y \quad n \ \in \mathbb Z$

quedando:

$\alpha=\pi/8060 + n \pi \ con \ n \in \mathbb Z$

$\beta=-\pi/8068 + m \pi \ con \ m \in \mathbb Z$

Y la solución no es única.

Creo!!

s.e.u.o.

Suerte!!!

[Alriga]

Re: Obtener el valor (números complejos)

... Y la solución no es única. Creo!! ...

Sí es única, observa que en la expresión

$\left (\dfrac{1+i \ \tan(\pi/8068)}{1-i \ \tan(\pi/8068)}\right )^{2017}$

Solo existe una tangente de $\pi /8068$

$\tan (\pi/8068)=0.00038852$

Por lo tanto solo hay un único numerador y un único denominador. El cociente entre ambos es único y un número complejo multiplicado por sí mismo un número entero de veces, (2017 en este caso) también conduce a un único resultado.

$\left (\dfrac{1+i \ \tan(\pi/8068)}{1-i \ \tan(\pi/8068)}\right )^{2017}=i$

Naturalmente aunque la solución sea única, cualquier número complejo admite una expresión periódica en su forma módulo argumental:

$i=1\angle (\pi/2)=1\angle (\pi/2+2 k \pi)$ con $k \in \mathbb Z$

Pero $1\angle (\pi/2)$ y $1\angle (\pi/2+2 \pi)$ no son números complejos distintos, ambos son "$i$"

Saludos.